Math93 : Une histoire des mathématiques.

0,999..=1
Vrai ou Faux ?

• a) On part de : 1/3 = 0,33333... On multiplie par 3 des deux côtés : 3 * 1/3 = 3 * 0,33333...
  Ce qui donne : 1 = 0,99999...

• b) On pose x = 0,99999... On multiplie par 10 des deux côtés : 10 * x = 9,99999... On soustrait les deux expressions côté par côté : 10 * x - x = 9,99999... - 0,99999... = 9,00000...
  Donc 9 * x = 9, c'est-à-dire x = 1, d'où 0,99999... = 1

• c) Un argument très court se déduit du fait suivant (propriété dite archimédienne de l'ensemble des réels ) :
  "si 2 nombres réels sont différents, alors il en existe au moins un 3ème entre les deux, différent des deux autres". (ce troisième nombre peut être la moyenne entre les deux).
  Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,99999... et 1 ; ils sont donc égaux.

• d) Pour les arguments plus rigoureux, il faut commencer par définir proprement ce qu'est 0,99999..
  En écrivant 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... , on définit 0,9999... comme une série géométrique (c'est-à-dire une somme dont chaque terme est égal au précédent multiplié par une constante, ici 1/10
  - on dit que c'est une série géométrique de raison 1/10), et on écrit:
  

.

On peut facilement montrer que la somme des n premiers termes d'une série géométrique de raison q et de premier terme a vaut :  S = a.(1-qⁿ)/( 1 - q)
Cette somme tend vers une limite finie pour n tendant vers l'infini si et seulement si q appartient à ]-1;1[, et cette limite est alors : S =a/(1 - q)

.

.

Ici, a=0,9, q=1/10, qui appartient à ]-1;1[, .....

Donc 0,99999...=1

• e) L'argument le plus direct est de vérifier directement, à partir de la définition de la limite, que 1 est la limite pour n tendant vers l'infini de la série S_n.
  
  Cela signifie qu'à condition de prendre suffisamment de termes dans la série, on peut s'approcher d'aussi près de 1 que l'on veut (c'est-à-dire rendre la différence | 1 - S_n | aussi petite que l'on veut).
  Mathématiquement, cette définition de limite s'écrit : (eps signifiant "epsilon")
  Quel que soit eps, il existe n₀ tel que pour tout n>n₀ , on a |1 - S_n | < eps
  En calculant  | 1 - S_n | = 1/10ⁿ
  on voit facilement que si n (nombre de termes) est suffisamment grand, alors notre somme peut s'approcher d'aussi près que l'on veut de 1, puisque leur différence, 1/10ⁿ devient de plus en plus petite quand n augmente.
  Pour être plus précis, si on se donne eps, la différence maximale que l'on s'autorise, alors il suffit de prendre:  n₀ > - ln(eps)/ln10
  Si n > n₀ , on aura alors : |1 - S_n |= 1/10ⁿ< eps
  la condition est respectée, donc la limite vaut 1, et 0,99999...=1
  
  Par exemple, si eps=0,001  on prend n₀ > - ln(0,001)/ln10  soit n₀ > 3
  et pour n=4, S4 = 0,9999  et  | 1 - S₄ | = 1/10⁴ = 0,0001 < 0,001