Tartaglia et Cardan : Une relation conflictuelle.
- TARTAGLIA (Brescia, 1500?-Venise, 1557).
- CARDAN (Pavie, 1501-Rome, 1576).
- Le conflit Tartaglia-Cardan et la résolution des équation de degré 3.
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C'est surtout en algèbre élémentaire que se distinguèrent les savants italiens du 16° siècle.
Nicolo Fontana était surnommé Tartaglia, le bègue. (Tartagliare signifie bégayer en italien).
En effet, il fut gravement blessé par l'épée d'un cavalier français, dans la grande église de Brescia le 19 février 1512 dans laquelle il se réfugiait avec sa mère.
Les troupes en Italie de l'armée royale française étaient alors menées par le terrible Gaston de Foix-Nemours (1489-1512) , surnommé "foudre d'Italie".
Niccolo qui avait alors 12 ans fut retrouvé la mâchoire fracassée. Aidé seulement par sa mère, veuve depuis 6 ans et trop pauvre pour faire appel à un médecin, il mit très longtemps avant de retrouver la parole.
On raconte que le père de Niccolo (Fontana) avait engagé un professeur pour instruire son fils de 6 ans et que celui-ci arrêta les cours (-après la mort de Monsieur Fontana-) alors qu'il ne lui avait enseigné qu'un tiers de l'alphabet (de A à I). Il poursuivit seul son apprentissage.
"Tout ce que je sais, je l'ai appris en travaillant sur les œuvres d'hommes défunts", disait-il.
Autodidacte, Tartaglia s'intéressa non seulement à l'arithmétique, à l'algèbre et à la géométrie mais aussi à la balistique et à la statique. Il fut par ailleurs un des nombreux traducteurs des œuvres d'Archimède (3ème av. JC).
Cependant il est surtout célèbre pour sa découverte d'une méthode de résolution des équations du 3° degré.
Cette découverte, faite en 1537, fut dévoilée à Cardan en 1539 et c'est celui-ci qui la diffusa (on lui donne le nom de "méthode de Cardan" encore aujourd'hui dans la plupart des livres de premier cycle universitaire.
La diffusion de cette méthode engendra un célèbre conflit qui nous détaillons ci-après.
Remarque : Scipione del Ferro (1465-1 526) fut un précurseur de Tartaglia dans ce domaine mais les papiers de celui-ci sont perdus.
Gérolamo Cardano, né à Pavie en 1501, est mort à Rome en 1576
Il étudie la médecine aux universités de Pavie puis de Padoue, là il obtient son diplôme de médecin en 1526.
Il s'installe ensuite à Milan, vivant pauvrement de ses cours de mathématiques.
En 1539, il est admis au collège de médecine et en devient le recteur. En 1543, il devient professeur de médecine à l'université de Pavie.
Un malheur vient alors bouleverser la fin de sa vie. Un de ses fils est condamné à mort pour avoir empoisonné sa femme libertine et est exécuté. Cardan ne s'en remettra jamais.
De 1562 à 1570, il est professeur à l'université de Bologne mais, suspecté d'hérésie, il est jeté en prison et perd le droit d'enseigner et de publier. Il part donc à Rome et y finit ses jours.
Ses travaux mathématiques portent sur la résolution des équations de degré 3 et 4, c'est à dire des équations de la forme :
où tous les coefficients sont positifs.
C'est dans son célèbre ouvrage Ars Magna (1545) qu'il publia la méthode de résolution de l'équation du 3° degré qu'il obtint de TARTAGLIA comme nous l'allons voir.
Son nom est actuellement bien connu car le mécanisme d'articulation qu'il avait inventé pour supporter la boussole dans les vaisseaux, ( à cette époque où les grands voyages maritimes se développent), a trouvé de nombreuses utilisations.
II écrivit un autre ouvrage intitulé La Subtilité dont voici un court passage consacré à Archimède.
"On peut trouver plusieurs personnages excellents aux disciplines, du nombre desquels j'en ay esleu douze, laissant à chacun son jugement.
Qu' Archimèdes soit nombré le premier des douze, non seulement pour ses livres divulguez, ains pour ses inventions mécaniques, par lesquelles il a souvent rompu la force des Romains, comme dict Plutarchus, lequel recite admirables inventions d'iceluy en la vie de M. Marcellus : et nous en avons recité autres non moindres selon le tesmoignage de Galien. Archimedes donc n'estoit tant premier, qu'inimitable autheur en ces inventions : et n'a desdaigné de louër l'esprit de ceux qui ensuivent les Grecules et qui parlaient un peu Grec (ainsi les appelle Cicero de ce mot Graeculi) mesme n'a desdaigné Prendre son sepulchre entre les ruines et lieux spineux de la ville Syracuse.
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3. Le conflit Tartaglia-Cardan et la résolution des équations de degré 3.
C'est Scipione Del Ferro (1465-1 526), professeur de mathématiques à Bologne, qui le premier parvient à trouver une méthode permettant de résoudre certaines équations du 3ème degré. Longtemps, il conserve secrète sa méthode (comme il est coutume de le faire à l'époque) puis finit par la communiquer à son gendre, Annibal de la Nave, lui aussi mathématicien.
Ce dernier la communique à l'un de ses amis, Anton Maria Del Fiore en 1526, qui garde le secret jusqu'à la mort de Scipione Del Ferro. Par la suite, Anton Maria Del Fiore ne divulgue pas la méthode mais par contre décide de lancer des défis aux mathématiciens (quelques centaines tout au plus à cette époque) en son propre nom sur la résolution de ces équations.
En 1535, Tartaglia releva le défi algébrique et une sorte de duel s'engagea entre les deux hommes. Chacun déposa une liste de 30 problèmes chez un notaire ainsi qu'un somme d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.
Exemple de problème : ils sont tous de la forme x3 + px = q
" Trouver un nombre qui, ajouté à sa racine cubique, fasse 6"
Donc avec les notations actuelles, trouver x tel que : x + 3 √ x = 6,
Pour résoudre cette équation on pose x = a3 et on obtient a3+ a = 6 que l'on sait résoudre avec la méthode exposée sur la page équations.Dans la nuit du 12 au 13 février, juste avant la date limite, Tartaglia trouve la résolution générale de ce type d'équation et il les résout toutes en quelques heures. Il remporte alors le concours mais refuse le prix (trente banquets). Trop heureux de sa méthode, il décide de ne pas la divulguer afin de gagner facilement d'autres concours.
Cardan apprend l'exploit de Tartaglia et se doute que ce dernier a trouvé la solution au problème que nombres de mathématiciens cherche depuis des années (voir des siècles). Usant de sa notoriété d'alors, Il le fait venir à Milan. Après plusieurs entretiens, il lui arrache sa méthode en lui promettant de ne jamais la divulguer.
On raconte que Tartaglia, du fait de son handicap, vouait une certaine admiration pour les médecins. Cardan en usa avec fourberie !
Cardan prolonge alors les travaux de Tartaglia et trouve une méthode plus générale encore de résolution des équations de degré 3.
Tartaglia avait trouvé la méthode de résolution des équations de la forme : x3 + px = q.
Cardan, obtient celle des équations de la forme : ax3 + bx² + cx + d = 0
Il apprend alors que Scipione Del FERRO avait trouvé la solution avant Tartaglia, il considère alors que la parole donnée ne vaut plus rien et publie, en 1545, ses résultats dans son ouvrage resté célèbre Ars Magna.
La querelle qui suit devient énorme et le pauvre Tartaglia manque d'en perdre la vie.
L'Histoire ne sera en outre pas favorable à Tartaglia. La méthode de résolution des équations de degré 3 est encore appelée méthode de Cardan dans la plupart des livres post-Bac.
Peu d'étudiants connaissent même le nom de Tartaglia, qui pourtant, aurait mérité reconnaissance et postérité !En effet, avec cette méthode, seront introduit les nombres complexes, c'est à dire les nombres de la forme a + ib avec i = √(-1), étudiés actuellement en terminale scientifique.
Tout d'abord, comme une étape intermédiaire au calcul des solutions réelles de l'équation, les nombres complexes deviendront vite une nouvelle entité mathématique. Ils vont fournir un prolongement de l'ensemble des nombres réels et trouveront des applications multiples en physique.
⇒ Pour en savoir plus sur l'histoire des équations.
Bibliographie :
- [Audi] : J.L.AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990.
- [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986. p 107
- [Guedj1] : Denis GUEDJ, Le théorème du perroquet, Seuil.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.