Solutions des Énigmes mathématiques et de logique.

C'était simple...

Énigme(s) n°22 : Déjà vu !

Evariste dispose de deux seaux non gradués : l'un de 5L, l'autre de 3L. Il y a de l'eau à volonté près de lui.
Comment peut-il obtenir exactement 4L sans autre matériel ?

⇒ Solution.

1. On remplit le seau de 5L, et on le vide dans celui de 3L.
2. Il reste donc 2L dans le seau de 5L.
3. On vide le seau de 3L et on récupère les 2L de l'autre seau : notre seau de 3 litres contient donc 2 litres.
4. On remplit à nouveau le seau de 5L. Comme le seau de 3L en contient 2, si on commence à vider celui de 5L dans celui de 3L, on obtient dans le plus gros seau, 5L-1L=4L.

Énigme(s) n°21 Suite logique (Les matheux ne sont pas forcement favorisés...!)

1
11 (il y a un 1 à la ligne précédente)
21 (il y a deux 1 à la ligne précédente)
1211 (il y a un 2 et un 1 à la ligne précédente)
111221 (il y a un 1, un 2 et deux 1 à la ligne précédente)
312211 (il y a trois 1, deux 2 et un 1 à la ligne précédente)
13112221 .......
1113213211

Énigme(s) n°20 La longueur d'un cercle est donné par la formule : 2πR (R est le rayon)

Supposons qu'un câble est tendu sur la terre, à l'emplacement de l'équateur (on suppose que la terre est exactement lisse et sphérique, et on estime la longueur de l'équateur à 40 000 kilomètres).
On ajoute alors un mètre de longueur aux 40 000 kilomètres du câble, et on tend celui-ci, de façon à ce qu'il ait à nouveau une forme parfaitement circulaire. A quelle hauteur se trouve-t-il du sol ?

Faire le même calcule avec un ballon de 1m de diamètre. Étrange non ?

Notons R le rayon de la terre; chacun sait depuis l'école primaire que la longueur L de l'équateur (et donc du câble) est égale à 2×π×R.
On ajoute un mètre au câble et on lui redonne une forme circulaire. Le rayon de ce nouveau cercle est donc R'=R+r, la valeur r correspondant à la hauteur du sol à laquelle se trouve le câble. Comme la nouvelle longueur est L+1, on a: 2 p (R+r) = L + 1 donc 2 pr = 1. Le câble se trouve à une hauteur r = 1/(2π) c'est à dire approximativement 16cm.

Cette petite énigme est fascinante à deux titres. D'abord, parce qu'il est intuitivement surprenant qu'un ajout dérisoire de 1m à un câble de 40000 kilomètres provoque une telle augmentation de la hauteur par rapport au sol.
D'autre part, parce que résultat est totalement universel, c'est à dire que la forme purement circulaire de l'équateur et sa longueur importante ne changent rien au phénomène.

Un lecteur du Guardian s'interrogeait sur la différence de longueur entre la voie extérieure et la voie intérieure du périphérique londonien. Comme le périphérique de Londres est assez long (environ 200 km), la réponse selon laquelle les deux voies ne diffèrent que d'environ 60 mètres de longueur a tout pour étonner !
En fait, le résultat aurait été le même si le périphérique avait été 10 fois plus long, ou davantage biscornu: la forme et la longueur de la courbe ne changent rien, seul l'écart entre les deux courbes parallèles intervient dans la différence de longueur.

Énigme(s) n°19 Le chamelier.

Un chamelier, père de trois fils, décède. Il possède dix-sept chameaux, il en lègue la moitié à son premier fils, le tiers à son deuxième, et le neuvième à son troisième. Mais 19 n'étant divisible ni pas 2, ni par 3, ni par 9, les fils sont fort embarrassés. Il vont alors consulter le vieux sage du village et celui-ci leur propose une solution très pratique. Quelle est la solution proposée ?

C'est un grand classique des livres de maths du collège !.
Le sage rajoute son chameau. On a 18 animaux, que l'on répartit facilement en
9, 6 et 2. Il en reste un: celui du sage qui récupère sa bête. On aurait pu
aussi choisir 7, 1/2, 1/4 et 1/8, ou 41 , 1/2, 1/3 et 1/7. Il y a en tout 7
variantes possibles de ce casse-tête. Trouvez-les toutes !

Énigme(s) n°18 A vos crayons !

Neufs points sont disposés sur une feuille, comme indiqué dans la figure suivante. Tracez quatre segments de droite reliant ces neuf points, sans lever le crayon.

Énigme(s) n°17 C'est si simple !.

Francky à 2 pièces de monnaie qui font en tout 30 centimes.
Étant donné que l'une des pièces n'est pas une pièce de 10 centime,
Quelle est la valeur de chacune des pièces?

⇒10 et 20 centimes !

Énigme(s) n°16 Absurde.

Un mage prétend qu'il est capable de donner le score de n'importe quel match de foot, avant même qu'il ne commence.
Comment fait-il donc pour avoir raison à tous les coups (ou presque) ?

⇒ 0-0 !!

Énigme(s) n°15 Un problème de gants.

Trois chirurgiens doivent opérer un malade et ils ne disposent que de deux paires de gants stériles. Comment doivent ils procéder pour opérer sans risquer d'infecter le patient ou de s'infecter entre eux ?

Énigme(s) n°14 Une prédiction impossible.

Un mage se vante de pouvoir répondre avec exactitude à n'importe quelle question concernant les évènements futurs.
Trouvez une question simple sur un évènement futur à laquelle le mage ne peut nécessairement pas répondre.

⇒ Le prochain mot que tu vas prononcer est-il "NON" ?

Énigme(s) n°13 Problèmes de pesées.

n°13-a) Lot défectueux, et balance de précision

Un fabriquant produit 15 lots de 20 poids, pesant 100 grammes l'unité. Mais à la suite d'une erreur, un des lots ne contient que des poids de 99g. Heureusement, le fabriquant possède une balance affichant avec précision ce qu'on lui donne à peser. Comment déterminer le lot défectueux en une seule pesée ?

Il suffit de placer sur la balance 1 poids du 1er lot, 2 poids du 2e lot, 3 poids du 3e lot...15 poids du 15e lot.

S'il ni avait pas de lot défectueux, la balance devrait indiquer : (1+2+3+...+15)*100 grammes
soit (15*16)/2 * 100g =120 *100 g = 12 000 grammes.

le numéro du lot défectueux sera donc 12 000-(poid indiqué par la balance en gramme) puisque si c'est le lot n°1, il y aura un écart de 1g, si c'est le lot n°2, il y aura un écart de 2g, ........,si c'est le lot n°15, il y aura un écart de 15g,

n°13-b) Sac défectueux, et balance à plateaux

Un minotier fabrique 7 sacs de 25kg de farine. A la suite d'une erreur, un des sacs ne pèse que 24kg. Le minotier dispose d'une balance à plateaux. Comment peut-il repérer le mauvais sac en 2 pesées seulement ?

étape 1 : On place sur la balance 2 sacs à droites et 2 à gauche.

étape2 : Si il y a équilibre, le sac de 24kg est parmi les 3 qui restent. On en place un sur chaque plateau.S'il y a encore équilibre, le 3e est le mauvais, sinon, le plus léger est le mauvais.
sinon, les 3 laissés de côté sont "bons" (ils pésent 25kg chacun).

Le mauvais sac est sur le plateau le plus léger lors de la pesée de l'étape 1. On en place un sur chaque plateau et le plus léger est le mauvais.

Énigme n°12 Problème de comptes.

Trois amis viennent boire un verre à la terrasse d'un bistrot, et demandent l'addition. Le garçon de café encaisse 30€, et les porte à son patron.
Donc au début :

Les amis sont à : -30€
le patron est à : +30€
le garçon est à : 0€

Celui-ci, leur consent une petite ristourne et demande au garçon de leur rendre 5 euros.
Puis donc :

Les amis sont à : -30€
le patron est à : +25€
le garçon est à : +5€

Mais le garçon de café décide de n'en rendre que 3€ et de garder 2€ pour lui.
Et enfin :

Les amis sont à : -30€+3€ = -27€
le patron est à : +25€
le garçon est à : +2€

Le problème est donc dans l'opèration que l'on effectue, -30€+3€ = -27€ les clients ont dépensé 27€,
et le patron et le garçon ont bien gagné 25€ + 2€ = 27 €, le compte est bon !!!!!!

Énigme n°11 ( septembre 1999) Un problème d'ampoule

Dans une première pièce sans fenêtres et à la porte hermétiquement fermée, se trouve une ampoule.
Dans une autre pièce, se trouvent 3 interrupteurs en position arrêt.

Vous êtes dans le seconde pièce, comment savoir quel interrupteur allume l'ampoule en entrant une fois et une seule dans la première pièce ?

Note : Un seul des interrupteurs allume l'ampoule.

On allume le premier interrupteur pendant 10 mn, on l'éteint puis on allume le 2ème. On entre dans la 2ème pièce, si l'ampoule est allumée, c'est le 2è interrupteur, si elle est chaude, c'est le 1er, sinon, c'est le 3ème.

Énigme n°10 ( septembre 1999) Les biftecks

Un couple invite un ami à manger, le mari décide de préparer trois biftecks au barbecue.
Le barbecue en question ne peut cuire que deux biftecks à la fois.
Sachant qu'il faut 3 minutes de cuisson par face, quel est le temps minimum pour faire cuire les trois biftecks ?

BARBECUE			TEMPS
BB1	BB2	BB3	3mn	Après 3mn, BB1 ET BB2 ont 1 face de cuite, ils deviennent AB1 et AB2.
AB1	BB3	AB2	3+3=6mn	on laisse AB2 de côté, on cuit la 2ème face de AB1 et la première de BB3. Après 6mn, AB1 est cuit (il devient AA1) et la 1ère de BB3 aussi (il devient AB3) , il reste à cuire la 2ème de AB2 et de AB3
AB3	AB2	AA1	9minutes	Tout est cuit !!

⇒ Donc 9 minutes

Énigme n°9 ( septembre 1999) Les œufs

On veut cuire un œuf en EXACTEMENT 15 minutes.
Vous disposez de 2 sabliers: un de 7 minutes et un autre de 11.
Comment faire?

On retourne les 2 sabliers A et B, après 7mn (quand A est vide), on retourne A (le A est vide et il reste 4mn dans le B), quand B est vide (après 4mn soit 4+7=11mn cumulées) il reste 3mn dans le A, on retourne A pour avoir les 4 minutes manquantes. 4+7+4=15minutes !!!

Mais il y a plus simple (merci philippe)

On retourne les 2 sabliers A et B, après 7mn (quand A est vide), on met l'oeuf à cuire (le A est vide et il reste 4mn dans le B), 4min après , on retourne B pour 11min, facile!!!
4min+11min=15min

Énigme n°8 La grande traversée

4 personnes doivent traverser un pont de nuit et ne disposent que d'une seule lampe.
L'une effectue la traversée en 10min, la 2ème en 5min, la 3ème en 2min et la dernière en 1mn.
Sachant qu'elles doivent traverser au maximum à 2 personnes ET avec la lampe, trouver le temps minimal nécessaire pour que les 4 personnes effectuent la traversée.

On nomme les personnes qui traversent en 1mn, 2mn, 5mn et 10mn respectivement par 1, 2, 5 et 10.

1 traverse avec 2             temps : 2mn                                        5,10      //    1,2 -->        //

2 revient                          temps : 2mn+2mn = 4mn                    5,10    //    <-- 2           // 1

et 5 traverse avec 10        temps : 4mn+10mn=14mn             2        //    5,10 -->      // 1

1 revient                          temps : 14mn+1mn=15mn               2         //    <-- 1           //   5,10

et 1 traverse avec 2        temps : 15mn +2mn= 17mn                    //     1,2 -->       //    5,10

Énigme n°7 Le postier voleur

C'est un pays imaginaire ou les habitants ne peuvent communiquer qu'avec la poste.
Malheureusement le postier est un voleur.
Pour se protéger, chaque habitant dispose de son cadenas et de sa clef.
Et ils mettent leur courrier dans des boites blindées.
Comment Pierre peut-il envoyer une lettre ou quelque chose a Paul sachant qu'ils ne peuvent communiquer que par la poste?

Pierre envoie une première fois la boite et son contenus avec son cadenas à Paul.
Paul renvoie le tout en rajoutant son propre cadenas à la boite.
Pierre enlève son cadenas de la boite et la renvoie à Paul.
Paul n'a plus qu'à ouvrir la boite avec sa propre clef.

Énigme n°6 Le loup, la chèvre et le chou

Un paysan se trouve sur la rive d'une rivière accompagné de son loup apprivoisé, d'une chèvre et d'un cageot de choux.
Il doit cependant traverser cette rivière, et son embarcation ne permet pas d'embarquer tout le monde. Le paysan ne peut monter sur la barque qu'accompagné uniquement de son loup, uniquement de sa chèvre, ou uniquement de son cageot; impossible de prendre avec lui ne serait-ce que deux des trois.
Le paysan devra donc faire plusieurs voyages, mais une chose l'inquiète: s'il laisse la chèvre et le cageot sur une des rives, elle va en profiter pour dévorer les choux; de même, le loup mangerait la chèvre en l'absence du paysan. Comment peut-il se prendre pour faire tout traverser ?

Le paysan traverse d'abord la chèvre, revient seul, traverse le loup, revient accompagné de sa chèvre et la laisse sur la rive, traverse avec le cageot, revient seul, et fait un dernier trajet avec sa chèvre.
Il s'agit d'une très vieille énigme, puisqu'elle est attribuée au mathématicien médiéval Alcuin (735-804).

Énigme n°5 Des boites et des boules

Trois boîtes portent respectivement les étiquettes "bleue-bleue", "Bleue rouge" et "rouge rouge". Les trois contenus sont en effet deux boules bleues, une boule bleues et une boule rouge, et deux boules rouges. Hélas, à la suite d'une erreur, aucune des étiquettes ne correspond au contenu de la boîte. Comment déterminer le contenu des trois boîtes en ne tirant qu'une seule boule d'une des trois boîtes ?

On tire une boule de la boîte marquée "Bleue rouge". L'étiquette étant fausse, cette boîte ne peut contenir que deux boules Bleue , ou deux rouge, ce que l'on sait immédiatement après le tirage.
Si cette couleur est, par exemple, la couleur Bleue , on en conclut que la boîte marquée "rouge rouge" a un contenu "Bleue rouge", et que la boîte "bleue-bleue" est en réalité "Bleue rouge".

(ou)

impossible

boite Bleue rouge

boite bleue-bleue

boite rouge rouge

Énigme n°4 Les boules bleues et rouges

3 personnes (très intelligentes) sont prisonnières d'une tribu cannibale. Le chef de la tribu propose un jeu macabre.
"Je dispose de 5 boules dans ce sac, 3 bleues et 2 rouges. Vous serez attachés chacun à un poteau et placés au sommet d'un triangle équilatéral afin que chacun de vous puisse voir les 2 autres.
Après vous avoir bandé les yeux, je vais disposer sur chacune de vos têtes l'une des boules.
Par la suite, j'enlève le bandeau, le premier qui devine la couleur de la boule qu'il a sur sa tête sera gracié, et les autres....."

On enlève les bandeaux et vous voyez 2 boules bleues sur la tête de vos amis et près 15 min, aucun des 3 prisonniers n'a encore donné sa réponse.

Quelle est la couleur de la boule qui est sur votre tête et pourquoi ???

Vous
A	B

⇒ Si vous aviez une rouge sur la tête, A verrait alors une rouge et une bleue et puisque B ne se prononce pas, elle serait sûre de ne pas avoir de rouge sur la tête et aurait donné la couleur de sa boule (car sinon B verrait lui 2 rouges et serait sûre d'avoir une bleue).

Énigme n°3 une variante

Un homme demande à trois de ses amis de se placer en file indienne, de sorte que le dernier de la file voit les deux personnes devant lui, que le deuxième de la file ne voit que voit que celui qui est devant, et que le premier de la file ne voit personne.
Il déclare: "Je vais placer une boule sur vos têtes. Je la choisis dans un sac de 5 boules, contenant 3 bleues et 2 rouges." Cela étant fait, il demande au dernier de la file la couleur de sa boule. Celui-ci ne peux pas répondre. Puis il pose alors la même question au deuxième, qui affirme également être incapable de le savoir. C'est alors que le premier de la file, qui ne voit pourtant aucun des 2 autres, annonce: "Je peux vous dire la couleur de la mienne". Quelle est cette couleur ?

On raisonne de la même façon.
Le premier ne pouvant se décider, c'est qu'il doit voir 2 bleues ou 1 bleue et 1 rouge ou 1 rouge et 1 bleue

⇒ Le deuxième ne peut se décider, il voit donc devant lui une bleue car sinon, il serait sûr d'avoir une rouge.
Le dernier est donc certain d'avoir une boule bleue.

Énigme n°2 Quelques énigmes toutes simple..!

Treize oiseaux sont dans un cerisier. Un chasseur passe et tue un oiseau. Il n'en reste aucun, les autres se sont envolés.
Un panier de fruits pèse 11 kilos. Les fruits seuls pèsent 10 kilos de plus que le panier vide.
Le panier vide pèse donc 0,5kg (les fruits seuls pèsent 10 kg de plus soit 10,5 kg !!)
Je suppose que nous possédons, toi et moi la même somme d'argent. (soit X euros)
Pour que tu aies 10€ de plus que moi, tu dois me donner 5€ !! (j'ai ainsi X-5 euros et toi X+5)
Un escargot décide d'atteindre le toit d'une maison. Le mur fait 10 mètres de haut. L'escargot monte pendant la journée de trois mètres, mais la nuit, il glisse et redescend de deux mètres.
L'escargot arrive donc au sommet le soir du 8ème jour (les 7 premiers jours, il ne montait que d'un mètre par jour; le 8ème, il parvient au sommet).
Vous participez à une course cycliste, si vous doublez le deuxième, vous devenez donc deuxième.
Comment pouvez-vous vous tenir derrière votre père, tandis qu'il se tient aussi derrière vous? En vous plaçant dos à dos.
Avec les 49 mégots, elle roule 7 cigarettes les fume puis récupère donc 7 autres mégots et peut ainsi rouler une 8ème cigarette !
Pas 11 mais 20 fois.
9,19,29,39,49,59,69,79,89,90-91-92-93-94-95-96-97-98 et 99
Il y a 4 tabourets, un dans chaque coin.
Une brique pèse 2kg.
Le bénéfice est de 20 € bien sur.
Il recouvrait la moitié au bout de 99 jours (puisqu'il double chaque jour).

Énigme n°1 - Les dactylos (niveau : ~ 3ème /seconde pour 1° et 2° )

Deux dactylos qui ont des vitesses de frappe différentes doivent travailler en parallèle pour exécuter un travail donné.
L'une serait capable de réaliser ce travail, seule, en 4 heures.
L'autre le ferait seule en 3 heures.

Si elles travaillent en parallèle, en combien de temps effectueront-elles le travail donné ?

En 12 heures, la première effectuerait 3 fois le travail (noté X donc 3X), et la seconde 4 fois (4X). Soit 7 fois à elles deux. 7X en 12h

Le temps nécessaire (pour 1X)est donc de 12/7 heure

De même en 60 heures, la première effectuerait 20(=4*5) fois le travail (noté X donc 20X), et la seconde 15 (=3*5) fois (15X) et la troisième 12(=3*4) fois (soit 12X) . Soit 20+15+12=47 fois à elles deux. 47X en 60h soit 1X en 60/47 heure

De même ppcm(t1, t2, ....,tN ) / (somme de 1 à N de ppcm(t1, t2, ....,tN )/ti ) heure

Math93 : Une histoire des mathématiques.