"J'ai additionné 7 fois le côté de mon carré et 11 fois la surface : 6.15."
Il s'agit de résoudre 11x² + 7x = 6.15 ; la notation 6.15, en base 60, est ambiguë car les Babyloniens ne donne pas d'indication de l'ordre de grandeur :
6.15 pourrait valoir 6.3600+15.60 ou 6.60 + 15 ou 6/60 + 15/60² ou même 6.3600 + 15 etc...
(Une sorte de zéro, pour les positions intermédiaires, n'est introduit par les Babyloniens "que" vers 300 av.J.-C., avant ils laissaient, parfois, un espace, mais souvent il fallait deviner).
Ici, 6.15 vaut 6+15/60 = 6 + 1/4
(Pour plus de précisions sur cette numération, cf. : la numération babylonienne)
Pour suivre la solution de la tablette, posons a=11 , b=7 , c= - (6 + 1/4) .
Les 2 colonnes de gauche du tableau sont traduites de la tablette.
| Base 60 | Base 10 | Calcul littéral Résolution de ax²+bx+c=0 |
|
| Tu multiplieras 11 par 6.15 | 1.8.45 |
11× (6+1/4) = 66 + 11/4 = 68 + 3/4 | calcul de -ac |
| Tu multiplieras 3.30 par 3.30 | 12.15 |
(3+1/2)² = 9+3+1/4 = 12+1/4 | calcul de b²/4 |
| Tu l'ajouteras à 1.8.45 | 1.21 |
12+1/4 + (60+8+45/60) = 12+1/4 + (68 + 3/4) = 81 |
calcul de b²/4 - ac |
| C'est le carré de | 9 | 9 | calcul de Ö (b²/4 - ac) |
| Tu soustrairas 3.30 | 5.30 | 9 - (3+30/60) = 6-1/2 = 5+1/2 | calcul de -b/2+ Ö (b²/4 - ac) |
| L'inverse de 11 ne peut être calculé (*) | (*) Les Babyloniens disposaient de tables d'inverses. 1/11 n'ayant pas de développement fini en base 60 n'y apparaissait pas. | ||
| Que poser qui, multiplié par 11, donne 5.30 ? | 30 | (5+1/2)/11 = 5/11+1/22 = 11/22 = 1/2 |
calcul de (-b/2+ Ö (b²/4 - ac)) / a |
| Le côté du carré est 30 | |||
Dans ces problèmes, les solutions sont toujours des nombres positifs à développement simple et fini en base 60 : le discriminent est le carré d'un nombre simple, la division part a se fait bien.
Mises à part ces restrictions, on voit que les Babyloniens maîtrisaient l'algorithme de résolution algébrique des équations du second degré. Même le cas des équations du second degré admettant 2 racines positives distinctes semble abordé dans des problèmes où apparaissent la longueur et la largeur d'un rectangle, ce qui permet de distinguer à l'aide d(='une relation d'ordre ce qui ne peut l'être algébriquement. Cependant ils n'écrivent que des recettes sur les tablettes et ce sont les Grecs qui fonderont les maths sur la méthode déductive.