Exemple de résolutions d'équations de degré 3

Soit l'équation    x³ + 3x = 10

Utilisons la méthode de Cardan

1°) On pose x=u+v et on impose la condition 3uv=-p   (pour résoudre x³ + px + q = 0 )

(u+v)³ + 3(u+v) = 10
u³+3u²v+3uv²+v³ + 3u + 3v = 10
u³ + v³ + 3uv(v+u) + 3(u+v) = 10
u³ + v³ + (3uv + 3 )(v+u)  = 10     et on impose     3uv = -3   soit   uv= - 1

D'où     u³ + v³   = 10    et     u³ v³ = -1

2°) On obtient donc le système :   u³+v³=-p = 10  et     u³v³ = -p³/27 = -1

3°) On pose    U=u³ et V = v³    soit     U+V= 10   et    UV= -1

donc U+V=10 et UV = -1  donc U et V sont solutions de   x²-10x -1 = 0
D² = 100+4=104    et    U = (10+Ö104)/2 = 5+Ö26 , U = (10-Ö104)/2 = 5-Ö26

4°) Les solutions de l'équations sont donc   :

x = u+v =  ³Ö(5+Ö26) + ³Ö(5-Ö26) (dans R)
les 2 autres sont    ju+j²v   et j²u + jv      (avec j tel que 1+j+j²=0, j=e^2ip/3)