TD n°5 : Résidus - Correction

Prolongement analytique

Exercice 1 :

Montrer que les séries suivantes
sont des prolongements analytiques l’une de l’autre.

Calcul de résidus

Résidus.

Soit f est analytique
partout à l’intérieur, et sur une courbe fermée simple 𝒞 excepté en

(qui est un
pôle d’ordre n).

Exercice 2 :

Trouver les résidus des fonctions données
aux pôles précisés.

1°)

Le résidu de f en

est :

Le résidu de f en

est :

Le résidu de f en

est :

2°)

Le résidu de g en

est :

Le résidu de g en

est :

3°)

Le résidu de h en

est :

4°)

Le résidu de k en

est :

Exercice 3 :

aux pôles à distances finis.

1.

définie par

.

2.

définie par

.

Théorème des Résidus.

Théorème des Résidus.

Soit f est analytique
partout à l’intérieur, et sur une courbe fermée simple 𝒞 excepté en un nombre fini de pôles a,
b, c … intérieurs à 𝒞
alors :

Exercice 4 :

Reprendre les fonctions de l’exercice 2
et calculer :

1.

pour   𝒞 définie par

2.

pour   𝒞 définie par

3.

pour   𝒞 définie par

1°)

a)

b)

2°)

a)

b)

3°)

a)

Exercice 5 :

Calculer

pour   𝒞 définie par

·
Le résidu au pôle simple

est :

·
Le résidu au pôle double

est :

a)

b)