TD n°6 : Fourier - Correction

Séries de Fourier

Coefficient de Fourier

On considère une fonction f continue par morceaux et <= !--[if gte msEquation 12]>T -périodique.

Cas pratique :

Si f est paire :	Si f impaire

Série de Fourier de f

Théorème de Dirichlet (1829)

Soit définie= sur ℝ, par morceaux sur et T -périodique.

Théorème de Parseval

Soit définie= sur ℝ, continue par morceaux sur et T -périodique.

On écrit aussi :

Exercice 1 :

Soit f 2π-périodique définie par sur .

1. = Montrer que :

On a (car f est impaire) et par IPP

Donc on obtient le résultat demandé.<= o:p>

2.&n= bsp; Con= vergence.

a. = Montrer que :

La fonction f n’est pas continue sur puisque mais .
Il y a donc une discontinuité en .
Elle est bien par morceaux puisqu’elle est sur . le théorème de Dirichlet affirme do= nc que la série va converger vers x sur et vers pour <= /span> .

On obtient donc le résultat demandé.

b. Etudier le cas où .
Dans ce cas, tous les termes de la série sont nuls, et la so= mme est bien nulle comme attendue.

3. = Cas particulier. Montrer que : <= /span>

Pour = , on retrouve la série alternée deman= dée.

4. = Application du Théorème de Parseval&n= bsp;: Montrer que :

En appliquant la formule de Parseval, ce qui est l légitime car f est continue par morceaux sur donc

Exercice 2 :

Soit f 2π-périodique, impaire, définie par :

1. = Représenter f.

2.&n= bsp; Montrer que :<= !--[if gte msEquation 12]> ∀x∈ R, fx=3Dn=3D0<= /m:sub>∞<= m:fPr>4π(2n<= m:sty m:val=3D"bi"/>+1)sin2n+= 1x

définie= sur ℝ, par morceaux sur ℝ et 2π= -périodique donc on peut appliquer le théorème de Dirichlet

La série de Fourier réelle de f converge simplement et a pour somme la régularisée de . Or ici f est égale à sa régularisée= , donc on obtient le résultat demandé.

3. = Montrer que : . Il suffit de prendre = 4.&n= bsp; Montrer que :

On peut appliquer la formule de Parseval puisque f est continue par morceaux.<= o:p>

5.&n= bsp; En déduire que :

Comme

On peut passer à la limite (en N) car toutes ces séries converges donc

Le regroupement de termes est légitime car on a convergence absolue donc commutative des séries.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier (notée ou TF) d’une fonction f donnée est une opération qui transforme une fonction f intégrable sur ℝ en une autre fonction notée .

Remarque : Cette définition est celle adoptée par les physiciens, on peut aussi définir sans le facteur . Il suffit en fait que le produit des constantes dans (1) et (2) fasse 1/2&#= 960;

Existence : Une condition suffisante d’existence de est que la fonction f soit absolument intégrable.=

La transformée de Fourier inverse. Soit f une fonction donnée admettant une TF

Exercice 3 :

Calculer la TF f pour f définie par :

Réponse :

Exercice 4 :

1. = Montrer que si f est paire :

2. = Montrer que si f est impaire :

Exercice 5 :

1. = Montrer que la TF f fx=3D1-x² si <= /span>x≤1fx=3D0 si <= /span>x>1= est

2. = Montrer que : =

Exercices complémentaires autocorrectifs :

Exercice 6 :

Soit f 2π-périodique, paire, définie par : .

1.&n= bsp; Montrer que :