TD n°6 : Fourier -
Correction

Séries de Fourier

Coefficient de Fourier

On considère une fonction f continue par morceaux et

-périodique.

Cas
pratique :

Si
f est paire :

Si
f impaire

Série de Fourier de f

Théorème de Dirichlet (1829)

Soit

définie sur ℝ,

par morceaux sur

et

-périodique.

Théorème de Parseval

Soit

définie sur ℝ, continue par morceaux sur

et

-périodique.

On écrit aussi :

Exercice 1 :

Soit f 2π-périodique
définie par

sur

.

1.       Montrer que :

On a

(car f est impaire)  et par IPP

Donc on obtient le résultat demandé.

2.
Convergence.

a.       Montrer que :

La
fonction f n’est pas continue sur

puisque

mais

.

Il y a donc une discontinuité en

.

Elle est bien

par morceaux puisqu’elle est

sur

. le théorème de Dirichlet affirme donc
que la série va converger vers x sur

et
vers

pour

.

On
obtient donc le résultat demandé.

b.      Etudier le cas où

.

Dans ce cas, tous les termes de la série sont nuls, et la somme
est bien nulle comme attendue.

3.       Cas particulier. Montrer que :

Pour

, on retrouve la série alternée demandée.

4.       Application du Théorème de Parseval : Montrer
que :

En appliquant la
formule de Parseval, ce qui est l légitime car f est continue par morceaux sur

donc

Exercice 2 :

Soit f 2π-périodique,
impaire,  définie par :

1.       Représenter f.

2.
Montrer que :

définie sur ℝ,

par morceaux sur ℝ
et 2π-périodique
donc on peut appliquer le théorème de Dirichlet

La série de Fourier
réelle de f converge simplement et a pour somme la régularisée

de

. Or ici f est égale à sa régularisée, donc
on obtient le résultat demandé.

3.       Montrer
que :

.   Il
suffit de prendre

4.
Montrer que :

On
peut appliquer la formule de Parseval puisque f est continue par morceaux.

5.
En déduire que :

Comme

On
peut passer à la limite (en N) car toutes ces séries converges donc

Le
regroupement de termes est légitime car on a convergence absolue donc
commutative des séries.

Transformée de Fourier

La
transformée de Fourier (notée

ou
TF) d’une fonction f donnée est une
opération qui transforme une fonction f intégrable sur ℝ en une autre
fonction notée

.

Remarque : Cette définition est celle
adoptée par les physiciens, on peut aussi définir

sans le facteur

.
Il suffit en fait que le produit des constantes dans (1) et (2) fasse 1/2π

Existence : Une condition suffisante
d’existence de

est que la fonction f soit absolument intégrable.

La
transformée de Fourier inverse.
Soit f une fonction donnée admettant une TF

Exercice 3 :

Calculer la TF f pour f définie
par :

Réponse :

Exercice 4 :

1.       Montrer que si f est paire :

2.       Montrer que si f est impaire :

Exercice 5 :

1.       Montrer que la TF

pour

définie par :

est

2.       Montrer que :

Exercices complémentaires autocorrectifs :

Exercice 6 :

Soit f 2π-périodique, paire,  définie par :

.

1.
Montrer que :

On a

(car f est paire)  et par IPP

2.
En déduire que :

On
prend

.

Exercice 7 :

Soit f 2π-périodique, impaire,  définie par :

.

1.
Montrer que :

2.       En
déduire que :

Avec

3.

On applique Parseval

Exercice 8 :

1.
En utilisant le résultat de
l’exercice 3, montrer que

La
transformée de Fourier inverse.

donc

La
partie imaginaire est nulle (fonction impaire) donc on obtient le résultat demandé.

2.
En déduire que :

Suffit
de prendre