TD n°5 : Suites - CORRECTION

Exercice 1.

14°)

·
Démonstration
1 : La
démonstration proposée sera utile pour l’étude des séries.

o
Montrons
que la suite

converge.

Pour

La suite

est donc décroissante et minorée par 0, donc
elle converge vers une limite

avec

o
On
montre que :

Pour

or

soit

o
Montrons
alors que :  la suite

tend vers 0.

donc  la suite étant positive

Par
récurrence immédiate :

or
puisque

, on a

Et donc par théorème
d’encadrement, la suite

tend vers 0.

·
Démonstration
2 bien plus rapide.

donc

Or

donc
la suite

converge vers 0 (par théorème d’encadrement).

15°)

De façon évidente,

Or la suite

diverge car les deux suites extraites

convergent vers des limites différentes 1 et
-1.

Donc la suite

diverge.

16°)

or

Donc par théorème d’encadrement, la suite

converge vers 1.

17°)

or

La suite

tend donc vers +∞