BTS COMPTABILITE ET GESTION 1998
MATHEMATIQUES
Durée : 2 heures        Coefficient : 2

- La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
- L'usage des instruments de calcul est autorisé.
- Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

EXERCICE 1 : (10 points)

Une entreprise fabrique des pièces qu'elle conditionne par centaines. Sa fabrication journalière varie entre 100 pièces et 650 pièces. On suppose que le bénéfice, exprimé en milliers de francs en fonction de la quantité q de pièces fabriquées, est donné par :

f(q) = - 2 q² + 20 q - 18 - 16 ln q ,
avec q exprimée en centaines : 1 £ q £ 6,5.

A - Etude économique.

1°  Calculer, en francs, le bénéfice réalisé pour une production journalière de 100 pièces, puis de 500 pièces.

2°  Calculer, en francs, le bénéfice correspondant à la fabrication de la 201 ième pièce.

3°  On fabrique 400 pièces. Calculer, en francs, le bénéfice moyen réalisé par pièce fabriquée.

B - Etude théorique.

Soit  f  la fonction définie pour tout x réel de l'intervalle [1 ; 6,5] par :

f(x) = - 2 x² + 20 x - 18 - 16 ln x.

1° a)  Calculer la dérivée f ' de f.

    b)  Montrer que l'équation f '(x) = 0 admet deux solutions x1 et x2 (où x1 < x2) que l'on déterminera.

   c)  Montrer que f '(x) est du signe de - 4 (x - 1) (x - 4).

   d)  Dresser le tableau de variation de f sur [1 ; 6,5].

2° a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution a distincte de 1 et une seule, dans l'intervalle [1 ; 6,5].

    b)  Prouver que 6,19 £ a £ 6,20.

3° a)  Recopier et compléter le tableau suivant.
          Les valeurs de f(x) seront arrondies à 10 - 1 près.

x

1

2

3

4

5

6

6,5

f(x)

              

   b) Tracer dans un repère orthogonal la courbe représentative de la fonction f sur [1 ; 6,5].

Unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

4°  Les fonctions g et G sont respectivement définies sur ]0 ; + µ [ par :

g(x) = ln x et G(x) = x ln x - x.

   a)  Vérifier que G est une primitive de g sur ]0 ; +µ [.

   b)  En déduire une primitive F de f sur [1 ; 6,5].

 

C - Retour à l'étude économique.

1° a)  Déterminer en unités (centaines de pièces) la quantité maximale de pièces à fabriquer pour qu'il y ait un bénéfice.

   b) Déterminer en unités la quantité de pièces à fabriquer afin d'obtenir le bénéfice maximal. Calculer en francs ce bénéfice.

   c) Faire apparaître sur le graphique les résultats précédents.

2°  Le bénéfice moyen Bm réalisé par centaines de pièces, s'exprime, en milliers de francs, par :

     Calculer Bm à 100 francs près.

 

EXERCICE 2 : (10 points)

Une chaîne de supermarchés, spécialisée dans la vente du matériel de bricolage, vend des sacs aux clients pour le transport des achats.

A - D'après le fournisseur des sacs, la charge maximale, en kg, qu'un sac peut supporter est une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 4.

1°  Calculer la probabilité de l'événement X ³ 55, puis celle de l'événement 48 £ X £ 52, avec la précision permise par les tables.

2°  Calculer le réel r tel que la probabilité de l'événement X < r soit égale à 0,025. Donner l'entier le plus proche de r.

3°  On considère que la probabilité d'avoir un sac défectueux est 0,03. Les sacs sont livrés par lots de 10, et leurs défectuosités sont supposées indépendantes. Calculer la probabilité pour que, dans un tel lot de 10 sacs, 2 au maximum soient défectueux. Donner le résultat décimal arrondi à 10 - 4 près.

B -  Soit Y la variable aléatoire qui indique le nombre de sacs vendus dans une journée. On assimile la loi de Y à une loi normale de moyenne m et d'écart-type 130.

On a étudié le nombre de sacs vendus chaque jour sur un échantillon de 100 jours ouvrables, et la moyenne de cet échantillon est 1 200.

1°  On assimile la loi de la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 jours, associe la moyenne de cet échantillon, à une loi normale. Préciser les paramètres de cette loi.

2°  Déterminer une estimation de m par un intervalle de confiance centré sur 1 200, avec le coefficient de confiance 97 % (les bornes seront indiquées sous forme entière).

C -  On suppose désormais que m = 1 190 et que Y suit la loi normale N(1 190 ; 1 130).

Chaque sac est vendu 19 F. Tout sac défectueux est remplacé gratuitement. La marge réalisée sur la vente d'un sac, représente 20 % de son prix de vente. De plus, la chaîne de supermarchés évalue ses pertes totales journalières sur la vente des sacs (remplacements, vols, ...) à 750 F. Le profit journalier, en francs, réalisé sur la vente des sacs, est une variable aléatoire Z.

1° a)  Exprimer Z en fonction de Y.

     b) Déterminer les paramètres de la loi normale suivie par Z.

2° a)  Calculer la probabilité P de l'événement Z > 3 500.

b) Le directeur commercial affirme qu'il y a au moins 75 % de chances pour que la chaîne de supermarchés réalise plus de 3 500 F de profit journalier sur la vente des sacs. A-t-il raison ?