BTS COMPTABILITE ET GESTION 1994
MATHEMATIQUES
Durée : 2 heures       Coefficient : 2

- La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
- L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
- L'usage du seul formulaire de mathématiques distribué avec le sujet est autorisé.

EXERCICE 1 : (12 points)

Dans une entreprise industrielle on traite des déchets, avant leur rejet, par addition continue d'un liquide approprié, pendant un certain nombre de jours. A chaque cycle de traitement, une même quantité de déchets est prise en charge.
Pour éviter le surstockage, avant chaque cycle, le stock de liquide de traitement, ("stock initial") est toujours le même, légèrement supérieur à la quantité nécessaire.
Une étude a permis de constater que, pendant la durée du cycle, le stock s(t) de liquide de traitement (en litres), s'exprime, en fonction du temps t (en jours), par

On note (C) la courbe représentative de la fonction s dans un repère orthogonal

1° a)  Calculer l'approximation entière à un litre près du stock initial s(0).
          Résoudre l'équation s(t) = 0.

En déduire le temps a au bout duquel le stock sera théoriquement nul ("rupture de stock").
(On donnera la valeur exacte de a ; on constatera qu'elle est légèrement inférieure à 25).

b)  Étudier le sens de variation de la fonction s, sur l'intervalle [0 ; a ].

c)  Tracer la courbe (C), dans le repère , pour les abscisses comprises entre 0 et a.

(Utiliser une feuille de papier millimétrique ; unités graphiques : 1 cm pour deux jours sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 1 000 litres sur l'axe des ordonnées).

d)  Par lecture sur le graphique, déterminer le jour au début duquel le stock n'atteint plus que la moitié du stock initial. (Faire apparaître les tracés permettant cette lecture).

2° On examine l'évolution de la consommation journalière de liquide de traitement durant le cycle. Pour cela, on considère la suite (u_n), définie pour tout nombre entier naturel non nul n par :

u_n = s(n - 1) - s(n).

(Les nombres u₁, u₂ et plus généralement u_n représentent respectivement les consommations de liquide de traitement, en litres, pendant le 1^er, le 2^ième et le n^ième jour du cycle).

a)  Vérifier que u₁ = s(0) - s(1) = e ^9,25 - e ^9,12.

Calculer la valeur exacte de u₂.

b)  Montrer que u_n peut s'écrire u_n = (e ^9,38 - e ^9,25) e ^{- 0,13 n}.

c)  Prouver que la suite (u_n) est une suite géométrique.

Donner la valeur exacte et l'approximation décimale arrondie à 10 ^- 2 près de sa raison q.

Utiliser ces résultats, pour comparer les consommations de deux jours consécutifs du cycle.

d)  Dans la pratique, le cycle de traitement est arrêté à la fin du jour au cours duquel la consommation journalière de liquide de traitement devient inférieure à 70 litres.
Déterminer ce jour, en utilisant l'expression de u_n obtenue à la question b).

 

EXERCICE 2 : (8 points)

Une entreprise fabrique industriellement des pains de margarine.
Leurs emballages portent notamment l'indication suivante : poids net : 500 grammes.

1° Calculs de probabilités.

On estime que le poids, en grammes, d'un pain produit, est une variable aléatoire X, qui suit la loi normale de moyenne 520 et d'écart-type 20.
On suppose que les poids des différents pains produits sont indépendants les uns des autres.
A l'emballage, un pain est refusé si son poids est inférieur ou égal à 490 grammes.

a) Un pain arrive à l'emballage. Montrer que l'approximation décimale arrondie à 10 ^{- 4} près de la probabilité qu'il soit refusé est égale à 0,0668.

b)  Deux pains arrivent à l'emballage. Calculer la probabilité de chacun des deux événements suivants :

     A : "les deux pains sont refusés" ;
     B : "l'un au moins des pains est refusé".

(On donnera les approximations décimales arrondies à 10 ^- 3 près de ces probabilités, en utilisant pour les calculs le résultat approché obtenu à la question précédente).

2°  Détermination d'une loi binomiale et approximation par une loi normale.

L'entreprise produit, avant emballage, 10 000 pains par semaine.

On note Y la variable aléatoire mesurant le nombre de pains refusés, dans la production d'une semaine.

a)  Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale ; donner les paramètres de cette loi.

   Calculer la moyenne et l'écart type de Y.

(On arrondira les deux derniers résultats aux nombres entiers les plus proches).

b)  On remplace la loi de Y par une loi normale qui en constitue une approximation satisfaisante.

Quels sont les paramètres de celle-ci ?

Calculer, en utilisant cette approximation, la probabilité de l'événement :

"650 £ Y £ 700".

(On arrondira le résultat à 10 ^{- 2} près).

3°  Utilisation d'une nouvelle loi normale.

Les emballages des pains de margarine portent aussi l'indication suivante :

teneur en matières grasses : 82 % (± 2 %).

On réalise une étude statistique sur la teneur des pains produits par l'entreprise ; on note M la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre entier correspondant à la teneur d'un pain. (Par exemple, pour la teneur 82 %, M prend pour valeur 82).

A la suite de cette étude, on admet que M suit une loi normale, de moyenne 81 et d'écart-type 1.

L'entreprise affirme qu'au moins 90 % des pains de sa production respectent la teneur en matières grasses indiquée sur les emballages.

A partir de l'étude précédente, peut-on considérer que cette affirmation est exacte ?

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