Bonne année 2018

2018 quelques propriétés de cet entier naturel


Le site Math93.com vous souhaite une heureuse, chaleureuse et studieuse année 2018. Profitons-en pour revenir sur quelques caractéristiques de ce nombre pair.

Ecriture

Cet entier s'écrit en français, anglais, allemand, espanol et italien :

Deux-mille-dix-huit / Two thousand eighteen / Zweitausend und achtzehn / Dos mil dieciocho / Duemilatredici

L'année 2018

2018 est une année qui :

  • comporte 365 jours qui commence et se termine par un lundi ;
  • compte 52 semaines et 1 jour; 53 lundis, 52 pour les autres ;
  • compte deux vendredis 13 en avril et en décembre.

Evènements 2018 :

  • 9-25 Février: Jeux olympiques d'hiver de 2018 ;
  • 14 Juin au 15 juillet: Coupe du monde de football en Russie (FIFA).

Diviseurs de 2 018

L'entier pair 2018 n'admet que 4 diviseurs qui sont : 1, 2, 1 009 et 2 018. De ce fait, cet entier n'est pas premier.

$$\begin{cases}2018=1\times2018 \\ 2018=2\times1009\end{cases}$$

L'entier précédent était lui premier et la prochaine année première sera 2027.

2018 Somme de quatre entiers consécutifs

2018 est somme de quatres entiers consécutifs et ce d'une unique façon :

$$2 018 = 503 + 504 + 505 + 506$$

2018 nombre déficient (deficient number)

Un nombre déficient est un nombre qui est supérieur à la somme de ses diviseurs propres, c'est à dire ses diviseurs autre que lui-même :

$$2018>1+2+1009=1012$$

2018 Nombre extravagant (wastfull number)

Un nombre extravagant est un entier naturel qui a moins de chiffres que dans sa factorisation en nombres premiers (exposants différents de 1 compris).

$$2018=2\times 1009$$

Sa factorisation nécessite un chiffre de plus que pour son écriture (wasteful number).

2018 Somme de deux carrés

Le nombre 2018 est un entier qui peut s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits.

$$2018=13^2+43^2$$

 

Théorème des deux carrés (cas général)
Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme \(4k + 3\) intervient à une puissance paire.
En particulier, la décomposition est unique lorsque l'entier ne possède aucun facteur premier de la forme \(4k + 1\), ou alors un seul et avec exposant 1.

On a ici : \(2018=2\times1009\) et ses facteurs ne sont pas de la forme \(4k + 3\) en effet :

$$1009=4\times 252+1$$

Une autre expression équivalente du nombre de décompositions a été donnée par le mathématicien Charles Gustave Jacob Jacobi (1804-1851).

On dispose d'un autre théorème dont  une preuve exposée sur ce poly (niveau supérieur) :

Tout nombre premier impair est somme de deux carrés d'entiers si et seulement s'il est congru à 1 modulo 4

 L'intérêt pour les sommes de carrés remonte à l’Antiquité : on trouve de telles sommes dans des tablettes en cunéiforme du début du 2e millénaire avant notre ère et deux propositions dans les Éléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme ou la différence forment encore des carrés parfaits, ou au contraire comment ne pas obtenir un carré en sommant deux carrés.

 

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