Résolution de l'équation : x3 + 3x = 10.

Utilisons la méthode de CARDAN Gerolamo (Pavie, 1501 - Rome, 1576)

1°) On pose x = u+v et on impose la condition 3uv = -p (pour résoudre x3 + px + q = 0 )

(u+v)3 + 3(u+v) = 10
u3+3u²v+3uv²+v3 + 3u + 3v = 10
u3 + v3 + 3uv(v+u) + 3(u+v) = 10
u3 + v3 + (3uv + 3 )(v+u) = 10 et on impose 3uv = -3 soit uv= - 1

D'où u3 + v3 = 10 et u3 v3 = -1

2°) On obtient donc le système : u3+v= -p = 10 et u3v3 = -p3/27 = -1

3°) On pose U=u3 et V = v3 soit U + V = 10 et UV= -1

donc U + V = 10 et UV = -1 donc U et V sont solutions de x² - 10x -1 = 0
Δ² = 100 + 4 = 104 et U = (10 + √104)/2 = 5+√26 , U = (10 - √104)/2 = 5 - √26

4°) Les solutions de l'équations sont donc :

x = u+v = 3(5+26) + 3(5-26) (dans IR)
Les 2 autres sont ju + j²v et j²u + jv (avec j tel que 1 + j + j²=0, j  =e2ip/3)