Les thèmes mathématiques

 

Polynômes

Les théories des corps commutatifs et des polynômes sont dérivées de ce qui fut la préoccupation principale de l'algèbre classique jusqu'au milieu du 19e siècle : la résolution des équations algébriques.
Les Babyloniens (-1800) déjà avaient su ramener la résolution des équations quadratiques et bicarrées à l'extraction des racines carrées (on a retrouvé de nombreuses tablettes, cf. aussi histoire des équation et histoire des nombres.).
Les Grecs de l'époque classique se bornent eux à retrouver les formules babyloniennes en termes géométriques ( un problème algébrique est ramené à l'intersection de 2 courbes planes ) et leur emploi sous forme algébrique commence avec Héron (100 ap. J.C.).
Avec les Hindous puis les arabes l'extraction des racines devient une opération fondamentale.
(Pour en savoir plus sur l'histoire des équations (degré 1 à 4) : )
Grâce aux progrès qu'il apporte aux notations, Viète (1540-1603) exprime de façon générale les relations entre coefficients et racines d'une équations algébrique quand les racines sont positives.
L'expression "transcendant" est de Leibniz (17e), en 1682 il découvre une démonstration simple ( résultat poursuivi par Grégory) du fait que sinx ne peut être que fonction algébrique de x.

Puissances, exponentielles et logarithmes

Puissances:

La conception de "progression géométrique" des puissance d'un nombre remonte aux Égyptiens et aux Babyloniens (-1800) et Euclide (-4e siècle) indique que am+ap=a(m+p) (avec m et p entiers) , cette règle retrouvé par N.Oresme (16e) au moyen âge. Il parle de plus de puissances fractionnaires.
N.Chuquet (15e) énonce de nouveau le règle d'Euclide et introduit une notation exponentielle pour les puissances des inconnues d'une équation (il utilise l'exposant 0 et les exposants négatifs). Stifel(1487-1567) étend le règle aux puissances négatives et fractionnaires.

Exponentielles et log.

On aboutit avec l'Écossais J.Neper en 1614-1620 et le Suisse J.Burgi à la définition des logarithmes.
Néper considère 2 pts M et N mobiles simultanément sur 2 droites, le mouvement de M étant uniforme, celui de N tel que la vitesse de N soit proportionnelle à son abscisse, l'abscisse de M est alors par définition le logarithme de celle de N.
On se borne jusqu'au milieu du 19e à admettre la possibilité de prolonger par continuité à l'ensemble des réels la fonction x-->ax définie pour x rationnel.

Espaces à n dimensions

C'est Riemann (1826-1866) qui le premier raisonne sur des espaces à n dimensions par analogie avec ceux à 3 dimensions.

Les congruences

Un autre approche de la divisibilité, centrée sur la notion de reste, est appelée la théorie des congruences. Cette théorie a été introduite par Gauss dans son traité Disquisitiones Arithméticae en 1801, alors qu'il n'avait que 24 ans. La notion de congruence avait déjà été utilisé par Euler, Lagrange et Legendre, cependant c'est Gauss qui développa vraiment cette théorie. 

Les Probabilités

Hasard et aléas viennent de mots arabes et latins signifiant "jeux de dés".

Dans l'Antiquité, le hasard est un instrument de divination et une aide à la prise de décision. des échanges épistolaires entre Pascal et le chevalier de Méré au 17ème siècle, naît une théorie du hasard puis des probabilités.

Les Fonctions

Si le mot est emprunté sous la forme simplifiée funcion (1370) au latin functio "accomplissement, exécution" en français courant [7], Descartes (1597-1650) l'utilise en mathématique pour désigner une expression algébrique correspondant à un graphique. Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de courbes, donc d'expressions, représentait une fonction. [8] page55.
Dans [9]p112 on peut lire que c'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot pour la première fois en mathématiques en 1673, que la première définition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705) et que le symbole f( ) a été introduit par Euler en 1734.
Alors, restons prudent..

Les Tangentes et les dérivées

Dans l'antiquité, la notion de tangente - droite qui ne touche la courbe qu'en un seul point- n'est étudiée que sur des cas particuliers. On a par exemple des recherches d'Archimède (287-212 av. J.C.) sur la spirale ou des tangentes aux coniques d'Apollonius (v.3ème-2ème siècle av.J.C.). Ces méthodes se généralisent au 17ème avec les travaux de Roberval et Toricelli qui considèrent des mouvement de projectiles. Fermat (1601-1655) fait usage d'éléments infinitésimaux et ses successeurs développent le calcul infinitésimal qui débouche sur les calculs de dérivée et d'intégrale.
C'est Newton et Leibniz qui contribuent à la généralisation et à la mathématisation de ces technique de calcul au 18ème. [10]p297

 

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Bibliographie :

1. Jean-Pierre ESCOFIER (Théorie de Gallois, p12) - Masson
2. Denis GUEDJ (Le théorème du perroquet, p230) - Seuil
3. J.L.AUDIRAC (Vie et œuvre des grands mathématiciens, p24 et p34) -Magnard
4. Denis GUEDJ (L'empire des nombres) - Découvertes Gallimard - Sciences
5. Georges IFRAH (Les chiffres) - Robert Laffont
6. Transmath,3e,
7. Alain REY (Dictionnaire historique de la langue française) - Le Robert - Paris 2000
8. P. ETCHECOPAR-N. GARRIC-N. VERDIER (Calcul différentiel intégral) - 4 à 4 éd. Le pommier- Paris 2004
9. J.-C. THIENARD et groupe IREM de Poitier (Mathématiques - seconde) - Bréal - Paris 2000
10. J.BORREANI (MATHS seconde) - Magnard collection abscisse - Turin (Italie) 2004
11. Éléments d'histoire des mathématiques - Nicolas Bourbaki (Masson)
12. Introduction à la théorie des nombres - J-M. De Koninck et A. Mercier (Modulo)