Approche générale .
Définition : [ElJai] p102
Etant donnée une fonction g positive et intégrable sur [a;b], on appelle suite de polynômes orthogonaux sur [a;b] par rapport à la fonction poids g, une suite de polynômes (Pn), avec d°Pn = n, telle que :
Remarque :
Cette relation d'orthogonalité définit un produit scalaire noté ( . , . ). La norme associée étant :
Ces polynômes sont définis à une constante près, que l'on choisie souvent telle que ||Pn||² = 1.
Polynômes orthogonaux particuliers. [ElJai] p108
- Polynôme de LEGENDRE :
Pn.
On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = 1
- Polynôme de TCHEBYCHEV :
Tn.
On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = ( 1 - X² ) - 1/2
- Polynôme de JACOBI :
Pn α, β .
On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = (1 - x) α(1 + x)β
- Polynôme de LAGUERRE :
Ln. On prend [a ; b] = [0 ; + ∞] et g(x) = e - x
- Polynôme de LAGUERRE généralisé:
Lnα. On prend [a ; b] = [0 ; + ∞[ et g(x) = x α. e - x
- Polynôme de HERMITE :
Hn. On prend [a ; b] = ]- ∞ ; ∞[ et g(x) = e - x²