MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; boundary="----=_NextPart_01C9ABDD.BC214970" Ce document est une page Web à fichier unique, ou fichier archive Web. Si ce message est affiché, votre navigateur ou votre éditeur ne prend pas en charge les fichiers archives Web. Téléchargez un navigateur qui prend en charge les archives Web, par exemple Windows® Internet Explorer®. ------=_NextPart_01C9ABDD.BC214970 Content-Location: file:///C:/27034AB2/td6-Fourier-corr.htm Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Type: text/html; charset="windows-1252"
On considère une fonction f continue par morceaux et <=
!--[if gte msEquation 12]>
Cas
pratique :
Si
f est paire : |
Si
f impaire |
|
|
Soit
Soit
On écrit aussi :
Soit f 2π-périodique
définie par
1. =
Montrer que :
On a
=
2.&n= bsp; Con= vergence.
a. =
Montrer que :
La
fonction f n’est pas continue sur
Il y a donc une discontinuité en
Elle est bien pour <=
/span>
On
obtient donc le résultat demandé.
b. Etudier le cas où
Dans ce cas, tous les termes de la série sont nuls, et la so=
mme
est bien nulle comme attendue.
3. =
Cas particulier. Montrer que : <=
/span>
Pour =
4. =
Application du Théorème de Parseval&n=
bsp;: Montrer
que :
En appliquant la
formule de Parseval, ce qui est l légitime car f est continue par morceaux sur
Soit f 2π-périodique,
impaire, définie par :
1. =
Représenter f.
2.&n=
bsp;
Montrer que :<=
!--[if gte msEquation 12]>
=
La série de Fourier
réelle de f converge simplement et a pour somme la régularisée
3. =
Montrer
que :
4.&n=
bsp;
Montrer que :
On peut appliquer la formule de Parseval puisque f est continue par morceaux.<= o:p>
5.&n=
bsp;
En déduire que :
Comme
On
peut passer à la limite (en N) car toutes ces séries converges donc
=
Le
regroupement de termes est légitime car on a convergence absolue donc
commutative des séries.
La
transformée de Fourier (notée
Remarque : Cette définition est celle
adoptée par les physiciens, on peut aussi définir
Existence : Une condition suffisante
d’existence de
La
transformée de Fourier inverse.
Soit f une fonction donnée admettant une TF
Calculer la TF f pour f définie
par :
Réponse :
1. =
Montrer que si f est paire :
2. =
Montrer que si f est impaire :
1. =
Montrer que la TF
2. =
Montrer que :
Soit f 2π-périodique, paire, définie par :
1.&n=
bsp;
Montrer que :
On a
2.&n=
bsp;
En déduire que :
On
prend
Soit f 2π-périodique, impaire,
1.&n=
bsp;
Montrer que :
2. =
En
déduire que :
Avec
3. =
On applique Parseva=
l
1.&n=
bsp;
En utilisant le résultat de
l’exercice 3, montrer que
La
transformée de Fourier inverse.
La
partie imaginaire est nulle (fonction impaire) donc on obtient le résultat =
demandé.
2.&n=
bsp;
En déduire que :=
b>
Suffit
de prendre
TD n°6: Fourier- Correction - Page 1= span> sur 6= span>