Énigme : Problème de Périmètre.

Supposons qu'un câble soit tendu sur la terre, à l'emplacement de l'équateur (on suppose que la terre est exactement lisse et sphérique, et on estime la longueur de l'équateur à 40 000 kilomètres).
On ajoute alors un mètre de longueur aux 40 000 kilomètres du câble, et on tend celui-ci, de façon à ce qu'il ait à nouveau une forme parfaitement circulaire. A quelle hauteur se trouve-t-il du sol ?

Faire le même calcule avec un ballon de 1m de diamètre. Étrange non ?

Énigme : Problème de Périmètre - Solution.

Notons R le rayon de la terre.
La longueur L de l'équateur (et donc du câble) est égale à L = 2×π×R.
On ajoute un mètre au câble et on lui redonne une forme circulaire.
Le rayon de ce nouveau cercle est donc R'=R+r, la valeur r correspondant à la hauteur du sol à laquelle se trouve le câble. Comme la nouvelle longueur est L+1, on a :

• 2 π (R+r) = L + 1 donc en développant : 2 π R + 2 π r = 2 π R + 1
  
  
• Donc 2 π×r = 1 soit r = 1/(2π).

Le câble se trouve à une hauteur r = 1/(2π) c'est à dire approximativement 16 cm et celà indépendamment de la longueur L.

Cette petite énigme est fascinante à deux titres.

1. D'abord, parce qu'il est intuitivement surprenant qu'un ajout dérisoire de 1m à un câble de 40 000 kilomètres provoque une telle augmentation de la hauteur par rapport au sol.
   
   
2. D'autre part, parce que résultat est totalement universel, c'est à dire que la forme purement circulaire de l'équateur et sa longueur importante ne changent rien au phénomène.

Un lecteur du Guardian s'interrogeait sur la différence de longueur entre la voie extérieure et la voie intérieure du périphérique londonien. Comme le périphérique de Londres est assez long (environ 200 km), la réponse selon laquelle les deux voies ne diffèrent que d'environ 60 mètres de longueur a tout pour étonner !
En fait, le résultat aurait été le même si le périphérique avait été 10 fois plus long, ou davantage biscornu: la forme et la longueur de la courbe ne changent rien, seul l'écart entre les deux courbes parallèles intervient dans la différence de longueur.