Calcul mental : Multiplication de deux nombres à deux chiffres
On veut calculer facilement les produit suivants :
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- A = 98 × 87
- B = 92 × 79
- C = 91 × 93
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On a :
- Pour trouver A = 98 × 87
- 98 = 100 - 2 et 87 = 100 - 13
- Les unités sont données par : 2 × 13 = 26
- Les centaines par : 98 - 13 = 85 = 87 - 2
c'est à dire (100 - 2 - 13)
- Le produit A = 8 526
- Pour trouver B = 92 × 79
- 92 = 100 - 8 et 79 = 100 - 21
- Les unités sont données par : 8 × 21 = 168 = 100 + 68
On rajoute donc 1 aux centaines, - Les centaines par : 1 + 92 - 21 = 72 = 1 + 79 - 8
- Le produit B = 7 268
- 92 = 100 - 8 et 79 = 100 - 21
- Pour trouver C = 91 × 93
- 91 = 100 - 9 et 93 = 100 - 7
- Les unités sont données par : 9 × 7 = 63
- Les centaines par : 91 - 7 = 84 = 93 - 9
- Le produit C = 8 463
Mais pourquoi cela marche-t-il ? Explications ...
Explications
Chacun des deux facteurs est un entier de deux chiffres de la forme (100 - a) et (100 - b) où a et b sont des entiers
Le produit noté N peut donc s'écrire :
$$ N=(100-a) \times (100-b) $$
En développant on obtient
$$N= 100\times 100 - 100a - 100b + ab$$
$$N= 100\times \Big( 100 - a - b \Big) + ab$$
Et donc :
- Les centaines sont déterminées par : 100 - a - b
- Les unités sont représentées par : a × b
- Et lorsque le produit a × b dépasse 100,
- Si 100 ≤ a × b ≤ 199 : on ajoute 1 aux centaines, les unités sont alors 100 - ab ;
- Si 200 ≤ a × b ≤ 299 : on ajoute 2 aux centaines, les unités sont alors 200 - ab ;
- Si 300 ≤ a × b ≤ 399 : on ajoute 3 aux centaines, les unités sont alors 300 - ab ;
...
Il fallait y songer...
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