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Calcul différentiel et dérivées partielles.

I - Approche historique.

II - Cours. 

  1. Dérivées partielles.
  2. Dérivées partielles secondes.
  3. Différentielles.
  4. Bilan.
  5. Différentielles de fonctions C1.
  6. Exemples importants.
  7. Compléments : Taylor- Young ordre 2. 


Approche historique :

L'étude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e siècle mais ses fondements solides ne sont posés qu'au début du 20e siècle. 
La notion de dérivée partielle est connue à la fin du 17e siècle, mais les premières équations aux dérivées partielles n'apparaissent qu'à partir de 1740 dans des problèmes de mécaniques. [Dieudo] p 43

Pour des compléments : ⇒ Approche historique sur les fonctions de plusieurs variables et la notion de dérivées partielles.


Cours sur le calcul différentiel et les dérivées partielles. (format PDF)

Pour alléger les écritures, on considérera toujours f une fonction définie sur U, un ouvert de IRp et à valeurs dans IRn, a est un vecteur de U,
 aa

 1 – Dérivées partielles.

f admet une dérivée partielle première ( dp1) en a ∈ IRp par rapport à xj, si la limite suivante existe :  


a

a


2 – Dérivées secondes.

a
aa


3 – Différentielles.


a :
a

Propriétés.

 


 

4 - Bilan
a


5 - Différentielles de fonctions C1.

a

aa

a

a

a

a

a 


6 – Exemples importants


7 – Compléments : Taylor- Young ordre 2.

Taylor Young ordre 2 : TAYLOR Brook (1685-1731) et YOUNG William Henry (Londres 1863 - Lausane (Suisse) 1943   

      a