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Les nombres palindromes


Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche.
Un nombre palindrome est donc symétrique de la forme : 

a1a2a3a4...⁄...a4a3a2a1

Exemples et dénombrements des palindromes.


Une infinité de nombres premiers palindromes ?


Pratiquement toutes les questions intéressantes sur les nombres premiers palindromes sont encore sans réponse et restent à l'état de conjectures.
On ne sait pas encore, en 2013, si il existe une infinité de nombres premiers palindromes.

Quelques propriétés des nombres palindromes


Génération de nombres palindromes ?


L'algorithme d'additions.

Refaisons le calcul avec 1 969 :

Une conjecture et les nombres de Lychrel


En fait il semble que cela fonctionne avec n'importe quel nombre de départ et en un nombre fini d'itérations. C'est du moins ce que les mathématiciens conjecturent.

Cependant il y a quelques problèmes.
Si on commence avec 196, on n'arrive pas à un palindrome même après 300 millions d'itérations !

Ces nombres qui semblent ne pas aboutir à un palindrome sont appelés "nombres de Lychrel".
Le nom « Lychrel » a été inventé par Wade VanLandingham : il s'agit d'une quasi-anagramme du nom de sa fiancée, Cheryl. Les nombres de Lychrel sont des nombres théoriques. On n'en connait aucun, bien que de nombreux nombres soient suspectés. Le plus petit nombre suspecté d'être de Lychrel est 196.
Dans ces nombres se trouvent évidemment ceux produits à chaque itération à partir de 196, mais aussi quelques autres.

Nombre d'itérations

On peut aussi calculer le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir un palindrome.
Très souvent, on atteint le palindrome en quelques étapes, même pour de très grands nombres, mais quelques rares nombres demandent quelques étapes de plus.

Le "palindrome nécessitant le plus d'itérations"  :


 Nombre de chiffres   Nombre de départ  Itérations
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
 89
 187
 1,297
 10,911
 150,296
 9,008,299
 10,309,988
 140,669,390
 1,005,499,526
 10,087,799,570
 100,001,987,765
 1,600,005,969,190
 14,104,229,999,995
 100,120,849,299,260
 1,030,020,097,997,900
 10,442,000,392,399,960
 170,500,000,303,619,996
 1,186,060,307,891,929,990 
 24 itérations.
 23 itérations.
 21 itérations.
 55 itérations.
 64 itérations.
 96 itérations.
 95 itérations.
 98 itérations.
 109 itérations.
 149 itérations.
 143 itérations.
 188 itérations.
 182 itérations.
 201 itérations.
 197 itérations.
 236 itérations.
 228 itérations.
 261 itérations - World Record!
Nombre de départ Itérations Palindrome obtenu
10911
147996
150296
1000689
1005744
1017501
7008899
9008299
55
58
64
78
79
80
82
96
4668731596684224866951378664
8834453324841674761484233544388
682049569465550121055564965940286
796589884324966945646549669423488985697
796589884324966945646549669423488985697
14674443960143265333356234106934447641
68586378655656964999946965655687368586
555458774083726674580862268085476627380477854555

 

 

Annexes


Complément : les mots ou phrases palindromes


Les mots palindromes sont des mots qui peuvent se lire dans les deux sens, de gauche à droite ou de droite à gauche. On dit qu'ils sont à symétrie bilatérale.
Le terme palindrome vient du grec palin (nouveau, renouvellement ou répétition d'une action) et dromos (course). Les mots palindromes étaient appelés autrefois : Sotadiques, du poète grec Sotades (300 av. J.-C.) qui les aurait exhibés pour la première fois.

De la même façon on parle de phrases palindromes ou palindromiques pour une phrase complète possédant une symétrie bilatérale.
Un exemple resté célèbre est un écrit, "le grand palindrome", un texte de 5 566 lettres écrit par l'écrivain Georges Perec en 1969.

 

Sources