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La Numération Grecque : La Logistique Grecque.


La logistique est l'art de compter et elle s'oppose à l'arithmétique qui s'adresse à la théorie des nombres, par exemple à l'étude des nombres premiers.

Les historiens s'accordent sur l'existence de deux systèmes de numération (au moins) dans la Grèce antique, le système attique et le système ionique.

1. Le système attique.


Une inscription datant de 450 av. J;-C. montre explicitement l'usage à Athènes du système attique de numération.

Ce système est un système additif de base 10, qui comprend 9 symboles

Les nombres sont alors notés en utilisant une combinaison de ces 9 symboles.

Le système attique fut progressivement remplacé par le système ionique.

 

 


 

2. Le système ionique.


Le système ionique se généralise à Alexandrie dès le 3ème siècle av. J.-C. 
Comme la numération hébraïque, cette numération était une numération alphabétique. Les chiffres étaient représentés par des lettres majuscules.

 

  Lettre Lettre Français Traduction Valeur
capitale minuscule
1 Α α alpha a 1
2 Β β (var. ϐ) bêta b 2
3 Γ γ gamma g 3
4 Δ δ delta d 4
5 Ε ε epsilon e 5
6 Ζ ζ zêta z 7
7 Η η êta ê 8
8 Θ θ thêta th 9
9 Ι ι iota i 10
10 Κ κ kappa k 20
11 Λ λ lambda l 30
12 Μ μ mu m 40
13 Ν ν nu n 50
14 Ξ ξ xi x 60
15 Ο ο omicron o 70
16 Π π pi p 80
17 Ρ ρ rhô r 100
18 Σ σ (var. ς) sigma s 200
19 Τ τ tau t 300
20 Υ υ upsilon u 400
21 Φ φ/ϕ phi ph 500
22 Χ χ chi kh 600
23 Ψ ψ psi ps 700
24 Ω ω oméga ô 800

 

  • 3 séries de 8 lettres pour les unités, dizaines et centaine soit les 24 lettres de l'alphabet grec (d'origine phénicienne),
  • plus 3 nouveaux signes :
    • le digamma - dérivé du Waw phénicien - pour le 6,
    • le Qoppa - issu du Qof phénicien - pour le 90,
    • et le San - issu du Sadé phénicien - associé au nombre 900

alphabet-grec.gif (10548 octets)

Pour distinguer les nombres dans le corps d'un texte, on surmonta ces lettres-chiffres d'une barre horizontale.

  • Exemples: 
    • λε = 35 car 35 = 30 (λ) + 5 (ε)
    • φμβ = 542 car 542 = 500 (φ) + 40 (μ) + 2 (β)

Et au-delà de 1 000.

Pour représenter les nombres de 1 000 à 9 000, on reprit les 9 lettres de la classe des unités simples et on munit ces lettres d'une apostrophe en position supérieure gauche. (Cet accent était omis lorsque le contexte indiquait clairement l'ordre de grandeur envisagé).
En outre, la numération grecque était décimale et de type additif.

  • Par exemple : 
    • 1 789 était représenté par : 'A Ψ ∏ Θ car 1 789 =  1 000 ('A) + 700 (Ψ)+ 80 (∏) + 9 (Θ)

Des traces de cette numération.

Un exemple de cette numération figure dans un papyrus trouvé à Éléphantine (en Égypte) qui est la plus ancienne attestation du système grec alphabétiques.
Constituant un contrat de mariage conclu lors de la 7ème année du règne du fils d'Alexandre le Grand (311/310 av. J.-C.), ce document donne pour dote la somme de "alpha drachmes" sous la forme :

-| A (-| : symbole de la drachme, et A pour 1 000, évident d'après le contexte)

On a aussi retrouvé des trace de cette numération sur les monnaies de Ptolémée II Philadelphe (286-246 av. J.-C.)

 

 


 

3. La numération d'Archimède.


Toutefois, les mathématiciens grecs ont mis au point des numérations plus puissantes.

Le célebre mathématicien et physicien grec Archimède (287-212 av. J.-C.) en particulier, a créé dans l'Arénaire, un système pouvant appréhender des nombres jusqu'à 1 suivi de 80 millions de milliards de chiffres !! 
Donc de l'ordre de 1 080×1015 soit 1080 000 000 000 000 000.

Par comparaison, le nombre total de particules dans l'univers a été estimé à des valeurs comprises entre 1072 et 1087. (C'est évidemment une conjecture).

  • Voici une tablette de multiplication grecque du début de l'ère chrétienne.

tablette-grecque.gif (155742 octets)

 


 

4. Les Fractions.


Le système présenté ne parvient que difficilement à représenter des fractions.
Ainsi, pour faciliter l'écriture des rationnels, les grecs privilégiaient, comme les égyptiens, les fractions unitaires, c'est à dire les fractions de numérateur 1.

Ils marquaient le dénominateur d'un accent à droite cette fois ainsi : 

    • γ' = 1/3 (car γ = 3)
    • φ' = 1/500 (car φ = 500)
    • λε' = deux possibilités :
      • λε' = 1/35 car 35 = 30 (λ) + 5 (ε)
      • ou λε' =30 + 1/5 si on le voit comme λ + ε'

Par contre, L'' = 1/2 car la fraction 1/2 avait elle un symbole particulier.

Puis Diophante d'Alexandrie (env. 200/214 - env. 284/298).

D'autres écritures furent usitées mais sans beaucoup de succès jusqu'à Diophante d'Alexandrie (env. 200/214 - env. 284/298).

Il place le dénominateur un peu au-dessus du numérateur, une notation inverse de celle utilisée de nos jours, ainsi il écrit : 

λε
         = 542/35  ou  parfois φμβ' λε''
φμβ

Le numérateur est marqué d'un accent et le dénominateur de 2

 


 

5. Les opérations et l'abaque.

Le système grec de numération était trop compliqué pour effectuer facilement des calculs.
Les grecs utilisaient donc un abaque c'est à dire une table sur laquelle les lignes parallèles représentent respectivement les unités, dizaines, centaines, ...

Abaque

Le terme abaque, vient du grec : abax, akos (tablettes servant à calculer).
Puis il est latinisé en : abacus chez les romains.
Il était constitué d'une table recouverte de sable sur laquelle on dessine à l'aide d'un stylet, les calculs pouvant être effacés au fur et à mesure en lissant avec la main.



Bibliographie :

 

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