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Le Papyrus de Rhind


Les Égyptiens, vers 1 600 av. J.-C., utilisaient deux systèmes d'écriture.

Cette écriture hiératique prédomine sur les papyrus, qui sont la principale source de renseignements sur les mathématiques égyptiennes. 
Les plus célèbres sont :

En 1858, Alexander Henry RHIND (1833-1863), un avocat écossais et égyptologue, achète à un antiquaire de Louxor un papyrus récemment découvert dans un petit monument proche du Ramesseum de l'antique Thèbes, aujourd'hui Louxor.
Thèbes est le nom grec (Thebai) de la ville d'Égypte antique Ouaset.

Ce document datant 1650 avant notre ère, serait une copie effectuée par le scribe Ahmès d'un original vieux de deux siècles.
Rhind est mort dans son sommeil à l'âge de 30 ans. Il lègue alors une bibliothèque de 1600 volumes à la Société des Antiquaires d'Ecosse, qui, selon ses dernières volontés, revend le papyrus au British Museum de Londres.
On peut encore y voir aujourd'hui un fragment de 199,5 cm sur 32 cm, dans la salle 90 (Ref. EA 10057).

papyrus de rhind british museum

papyrus de RHIND

Écrit en hiératique, le papyrus Rhind comporte une introduction, une table de décomposition de fractions de type 2/n, et une liste de 86 problèmes avec leurs solutions. 

 

La table de "deux" du Papyrus de Rhind


Le papyrus de Rhind comportait 87 problèmes, d'arpentage, d'arithmétique ou de géométrie, qui nécessitaient pour leur résolution, de savoir décomposer une fraction de la forme 2/n en somme de fractions unitaires (de numérateur 1). 

Plusieurs tables de décomposition étaient à disposition des lecteurs et une de ces tables, la table dite "de deux", se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.

Par exemple :

Voici la table complète : 

 

2/3 = 1/2 + 1/6 2/5 = 1/3 + 1/15 2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18 2/11 = 1/6 + 1/66 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21= 1/14 + 1/42 2/23 = 1/12 + 1/276 2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54 2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66 2/35 = 1/30 + 1/42 2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78 2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90 2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470 2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102 2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795 2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114 2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531 2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126 2/65 = 1/39 + 1/195 2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138 2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150 2/77 = 1/44 + 1/308 2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162 2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498 2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174 2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890 2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186 2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

 

Une valeur approchée du nombre pi au dixième par Ahmès !


Dans les problèmes 48 et 50, Ahmès étudie le rapport liant l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire du disque à celle d'un carré équivalent.

En cela, le papyrus Rhind propose une première approche de la célèbre quadrature du cercle, c'est à dire la construction d'un carré de même aire qu'un disque donné.

C'est seulement en 1882 que le mathématicien allemand Ferdinand von LINDEMANN (1852-1939), parvint finalement à démontrer que la quadrature du cercle est impossible.

Le scribe Ahmès utilise alors le carré de côté \(\dfrac{8d}{9}\) où \(d\) est le diamètre du cercle ; en d'autres termes, l'aire d'un cercle de diamètre 9 unités est presque égale à l'aire d'un carré de 8 unités.

ahmes quadrature du cercle

$$\pi R^2\approx \Big(\dfrac{16R}{9}\Big)^2$$

 

Ainsi, on obtient une valeur approchée du nombre pi, au dixième car :

$$\pi\approx \left(\dfrac{16}{9}\right)^2=\dfrac{256}{81}$$

Et donc en utilisant les fractions égyptiennes de numérateur 1

$$\pi\approx \dfrac{256}{81}= 3+\dfrac19+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81} \approx 3,160$$

=> Pour des compléments, consultez la page  : Histoire du nombre pi.

 

Sources