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 complexes les nombres

Les nombres complexes (ou imaginaires)


Une histoire ... complexe

Les nombres complexes naissent au 16e siècle dans les travaux des mathématiciens italiens qui cherchent une méthode de résolutions des équations du 3e degré.

Dans les premières années du 16e siècle, le mathématicien italien Scipione del Ferro, professeur de mathématiques à l'université de Bologne est le premier à trouver une méthode permettant de résoudre certaines équations du 3ème degré. Longtemps, il conserve secrète sa méthode (comme il est coutume de le faire à l'époque) puis finit par la communiquer à son gendre, Annibal de la Nave, lui aussi mathématicien.

Ce dernier la communique à l'un de ses amis, Anton Maria Del Fiore en 1526, qui garde le secret jusqu'à la mort de Scipione Del Ferro. Par la suite, Anton Maria Del Fiore ne divulgue pas la méthode mais par contre décide de lancer des défis aux mathématiciens (quelques centaines tout au plus à cette époque) en son propre nom sur la résolution de ces équations.

En 1535, Tartaglia (dit le bègue) redécouvre la méthode de résolution de Scipio del Ferro. Il relève alors le défi algébrique et une sorte de duel s'engagea entre lui et Def Fiorre. Chacun déposa une liste de 30 problèmes chez un notaire ainsi qu'un somme d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.

Niccolo TartagliaNiccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »)

Le conflit Tartagli-Cardan

Tartaglia trouve la résolution générale de ce type d'équation et il les résout toutes en quelques heures. Il remporte alors le concours mais refuse le prix (trente banquets). Trop heureux de sa méthode, il décide de ne pas la divulguer afin de gagner facilement d'autres concours. Malheureusement pour lui, il va divulgeur sa méthode au mathématicien et médecin Gerolamo Cardano (ou Cardan), qui la complète et la publie... sous son nom dans son ouvrage Ars Magna en 1545. Pour en savoir plus, lire la page Tartaglia-Cardan.

L'Histoire ne sera en outre pas favorable à Tartaglia. La méthode de résolution des équations de degré 3 est encore appelée méthode de Cardan dans la plupart des livres post-Bac.
Peu d'étudiants connaissent même le nom de Tartaglia, qui pourtant, aurait mérité reconnaissance.

Jérôme Cardan autoportrait (en italien : Gerolamo Cardano ou Girolamo Cardano, en latin : Hieronymus Cardanus)Jérôme Cardan autoportrait

 

La naissance des complexes

Cardan considère dans son ouvrage, des nombres négatifs dont il prend artificiellement la racine carré, cela comme une étape intermédiaire de calcul. Ils les nommes nombres fictifs. . Il est incapable de faire quoique ce soit avec ces, comme il les nomme, "cas irréductibles" de solutions d'équations cubiques qui vont donner naissances aux nombres complexes, c'est à dire les nombres de la forme \(a+b\sqrt{-1}\).

Cette difficulté va être levée par le mathématicien italien Raffael Bombelli (Bologne, Italie, 1526-1572) dans son ouvrage "Algebra" (1572). Dans ce livre il introduit une théorie mature des nombres complexes et il note (3i) sous la forme \(\sqrt{0-9}\), littéralement R[0 m. 9], R pour radical, m pour moins
Ceci permet à Bombelli de traiter les cas "irréductibles" en montrant par exemple que [Struik, D. J.] : $$\sqrt[3]{52+\sqrt{0-2209}}=4+\sqrt{0-1}$$

Les nombres complexes deviendront, mais bien plus tard, une nouvelle entité mathématique. Ils vont fournir un prolongement de l'ensemble des nombres réels et trouveront des applications multiples en physique. Un nouvel ensemble de nombres vient de voir jour !

ensembles de nombres 2

Un usage lent et discuté

Les mathématiciens du 16e ont tout de même bien du mal à considérer ces nombres étranges qui n'ont pas de sens. Cardan précise « Oublions les tortures mentales que cela peut causer et manipulons ces expressions comme si elles avaient un sens».

Tout au long du 17e siècle, les nombres complexes ne cessèrent de disparaître et de réapparaître. Des mathématiciens aussi brillants que Leibniz et Jean Bernoulli s'engagent dans des controverses épistolaires sur ces nouveaux nombres. C'est vraiment seulement au 18e siècle que leur emploi se généralise et qu'ils sont véritablement réhabilités après que les mathématiciens apprirent à les représenter avec le plan d'Argand-Cauchy.

 Plan Argand Cauchy Complexes

Le livre de Bombelli est largement lu par des mathématiciens de renom.
L'allemand Leibniz (1646-1716) le selectionne comme ouvrage de référence pour l'étude des équations cubiques et le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) cite Bombelli dans son ouvrage nommé aussi "Algebra" dans le chapitre sur les équations bicarrées.[Struik, D. J.]

Le symbole i

La lettre i pour l'imaginaire a été employé la première fois par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) dans un mémoire présenté en 1777 mais non édité jusqu'en 1794 dans ses « integralis de calculi d'Institutionum. »

Cette notation est reprise puis généralisée par le mathématicien allemand GAUSS Carl Friedrich (1777-1855)

Le symbole \(\mathbb{C}\)
Ensembles des nombres complexes ou imaginaires

L'origine du symbole \(\mathbb{C}\) pour désigner l'ensemble des nombres complexes est assez récente. On trouve selon l'historien des mathématiques William C. Waterhouse (en 2001) ce symbole dans les papiers de JACOBSON Nathan (1910 - 1999), Structure and Automorphisms of Semi-Simple Lie Groups in the Large, (1939).

La seconde édition de Survey of Modern Algebra (1953) de Birkhoff and MacLane, utilise aussi C (mais J pour les entiers, R pour les rationnels, R# pour les réels). 

Le groupe BOURBAKI l'utilise aussi dans ses travaux de 1969 et participe à sa généralisation.

 

Vocabulaire sur les nombres complexes ou imaginaires

 

Compléments

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Sources