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Les polynômes orthogonaux.


Ces polynômes sont en fait une suite de polynômes qui peuvent selon le cas prendre le nom de polynôme de LEGENDRE, TCHEBICHEV, JACOBI, LAGUERRE, LAGUERRE généralisée, HERMITE.

Approche générale .


Définition[ElJai] p102

Etant donnée une fonction g positive et intégrable sur [a;b], on appelle suite de polynômes orthogonaux sur [a;b] par rapport à la fonction poids g, une suite de polynômes (Pn), avec d°Pn= n, telle que : 

polynomes orthogonaux

Remarque : 
Cette relation d'orthogonalité définit un produit scalaire noté ( . , . ). La norme associée étant :

Ces polynômes sont définis à une constante près, que l'on choisie souvent telle que ||Pn||² = 1.

Polynômes orthogonaux particuliers. [ElJai] p108


  • Polynôme de LEGENDRE : Pn

    On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = 1

  • Polynôme de TCHEBYCHEV : Tn

    On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = ( 1 - X² ) - 1/2

  • Polynôme de JACOBI : Pn α, β . 

    On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = (1 - x)α (1 + x)β 

  • Polynôme de LAGUERRE : 

    Ln. On prend [a ; b] = [0 ; + ∞] et g(x) = e - x

  • Polynôme de LAGUERRE généralisé: 

    Lnα. On prend [a ; b] = [0 ; + ∞[ et g(x) = x α. e - x

  • Polynôme de HERMITE : 

    Hn. On prend [a ; b] = ]- ∞ ; ∞[ et g(x) = e - x²