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Les Groupes.


Définition.

Un groupe est un ensemble G muni d'une loi de composition interne * (lci) :

  1. La loi * est Associative,
  2. G admet un élément neutre pour *,
    On le notera e.
  3. Tout élément de G admet un symétrique pour *.
     

Notation et remarque :

 


 

Sous-groupe.


1. Sous-groupe : 
Soit H un sous-ensemble non vide de G, H est un sous-groupe de G si : 

    1. H est stable par la loi : Pour x et y de H, alors x*y 
    2. L'élément neutre e appartient à H,
    3. H est stable pour l'inverse : Pour tout x de H, x-1 appartient à H.

 

2. Le sous-groupe engendré par une partie A de G.

 


Ordre d'un groupe.


Ordre du groupe G.

Si (G,*) est un groupe fini, on appele ordre de G le cardinal de G : 
Ordre de G = card G.

Ordre d'une élément de G.

L'ordre de x, élément du groupe G, est le plus petit entier non nul n tel que : 
xn = e, où e est lélément neutre de G pour *.
Si un tel n n'existe pas, on dit que x est d'ordre infini. 

Proposition.

  1. Si x ∈ G est d'ordre n fini : xm = e ⇒ n divise m. (Avec m∈ℕ*)
  2. Si x ∈ G est d'ordre n fini :  <x> = {e, x, x²,..., xn-1 } et est isomorphe à (ℤ/nℤ,+).
  3. Si x ∈ G est d'ordre infini : <x> est isomorphe à (ℤ,+).
  4. Si G est fini, tout élément de G est d'ordre fini et cet ordre divise card G.

 


 

Groupe cyclique.

1. Définitions.

2. Remarques.

  1. Tout élément d'un groupe monogène G = <g> est de la forme gn 
    où n est un entier.
  2. Tout élément d'un groupe cyclique G = <g> d'ordre n, est de la forme gm 
    où m est un entier compris entre 0 et n-1.
  3. Tout groupe monogène ou cyclique est abélien.

3. Propriétés.

  1. Tout sous-groupe d'un groupe monogène (respectivement cyclique) est monogène (respectivement cyclique).
  2. Un groupe monogène est isomorphe à (ℤ,+).
  3. Un groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à  (ℤ/nℤ,+).

 


Groupe Quotient.


1. Définition.

Si H est un sous-groupe de G, la relation  définie par : 

x  y  x-1y ∈ H

Est une relation d'équivalence (Réflexive, symétrique et transitive).

 

2. Théorème de Lagrange,
     du nom du mathématicien français LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813).

Card G = Card H × Card G/H 

3. Histoire.

Le terme groupe quotient fut introduit par le mathématicien allemand Otto Ludwig HÖLDER (1859-1937) en 1889, selon un document produit par le mathématicien anglais William Henry YOUNG (1863-1943) en 1893.


 

Sous-groupe distingué (ou normal).


Il est possible, sous certaines conditions, que l'ensemble quotient des classes à gauche, noté G/H, soit muni d'une structure de groupe, héritée de la structure de groupe de G.

Il faut pour cela que le sous-groupe H soit d'un type particulier, qu'il soit distingué dans G.

Définition d'un sous groupe distingué.

On dit que H est un sous-groupe distingué (ou normal) de G lorsque : ∀x ∈ G, xH = Hx.

On note alors : H⊳ G.

Remarque :


Histoire.


1770 : LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813)

La première démonstration faisant intervenir l'idée de groupe revient au mathématicien français Joseph Louis LAGRANGE( 1736-1813) en 1770.

Ce dernier cherche à déterminer le degré de l'équation, à coefficients des fractions rationnelles en les polynômes symétriques élémentaires, satisfaite par une équation rationnelle. [Esco] p109

Le mot Groupe : GALOIS Évariste (1811-1832).

C'est le génial mathématicien français Évariste GALOIS (1811-1832) qui utilise pour la première fois le mot groupe.
Il entend par là, ce que nous appelons maintenant, le sous-groupe du groupe des permutations de l'ensemble des racines d'un polynôme.

Ce terme apparait dans :

Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux
(écrit en 1830 mais publié en 1846) Oeuvres mathématiques. p. 417. Cajori (vol. 2, page 83)

Galois n'a pas besoin de parler d'associativité, d'élément neutre ou d'inverse, seulement de loi interne par la nature même de ce groupe.

Groupe des substitutions.

Le mathématicien anglais CAYLEY Arthur (Richmond 1821-Cambridge 1895) généralise la notion de groupe de substitutions (étudiés par CAUCHY).

Il introduit entre 1849 et 1854 la notion de groupe abstrait avec la définition suivante :

Un groupe abstrait est un ensemble d'opérateurs qui agissent sur des éléments, et tel que le composé de deux d'entre eux est encore dans l'ensemble.

Il en propose comme exemple les quaternions (avec l'addition) et les matrices (avec la multiplication).

On voit bien que la notion de symétrique d'un élément manque dans cette définition qui, passe inaperçue, et il faut attendre le mathématicien allemand KRONECKER Leopold (1823-1891) en 1870 pour avoir une nouvelle tentative de définition abstraite.

La notion de groupe abstrait.

La forme abstraite de la définition du concept de groupe se construit au 20e siècle avec des définitions de Cayley (1854), de Kronecker (1870) de Weber (1882) de Burnside (1897) puis, en 1900 par le peu connu mathématicien américain James Pierpont (1866-1938).

La théorie des groupes est vraiment aboutie avec le livre de Burnside Théorie des groupes d'ordre fini publié en 1897.
Par la suite, l'ouvrage en deux volumes de Heinrich Weber (un étudiant de Dedekind) Lehrbuch der Algebra publié en 1895 et en 1896 est devenu un texte de référence. Ces livres ont influencé la génération suivante de mathématiciens pour faire de la théorie des groupes, sans doute, la théorie la plus importante des mathématiques du 20ème siècle.

C'est d'ailleurs au mathématicien allemand Heinrich WEBER (1842-1913) que l'on doit la définition actuelle de la notion de groupe.  [Hauch]p85

Groupe Quotient.

Le terme groupe quotient fut introduit par le mathématicien allemand Otto Ludwig HÖLDER (1859-1937) en 1889, selon un document produit par le mathématicien anglais William Henry YOUNG (1863-1943) en 1893.

Références.