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Conjecture de Erdos–Straus ou Erdős–Straus


En théorie des nombres, la conjecture de Erdős–Straus (ou Erdos–Straus) suppose que pour tout entier n ≥ 2, le nombre rationnel 4 / n peut être exprimé comme la somme de trois fractions unitaires. 

Cela permet donc de décomposer 4/n en fractions égyptiennes, et ce, avec le moins de fractions (distinctes) possibles.

Paul Erdös et Ernst G. Straus ont formulé la conjecture en 1948. C'est l'une des nombreuses conjectures émises par Erdős.

Plus formellement, cette conjecture affirme que, pour tout entier n ≥ 2, il existe des entiers positifs a, b et c tels que : 

 conjecture erdos

 

conjecture erdos 4sur5

Les recherches actuelles


Le professeur Allan SWETT, de l'université d'Indianapolis (USA), indique que la conjoncture de Erdos-Strauss, nommée ESC(n), est vraie pour tous les entiers n de 1 à 1014. Soit pour 100 000 milliards d'entiers !
Évidemment, cela n'est pas suffisant pour prouver qu'elle est vraie pour tous les entiers n, la démonstration résiste encore, à ce jour, à tous les mathématiciens.

Généralisation


L'idée générale, revient à : 

  1. Décomposer une fraction quelconque k/n en somme de fractions unitaires, c'est à dire de l'écrire en fractions égyptiennes.
    Evidemment, cela est toujours possible (cf. les fractions égyptiennes)

  2. Trouver le nombre minimal de fractions unitaires utiles à la décomposition. 

Une version généralisée de cette conjecture énonce donc que, pour tout k positif il existe un nombre N tel que, pour tout n ≥ N, il existe une solution en entiers positifs.

conjecture k sur n

 

Les résultats prouvés.

 2 sur n formule


Par exemple : 

2 sur n formule ex

Une preuve de ce théorème est disponible sur le site : http://www.ics.uci.edu

Sources.