CAYLEY Arthur.

Né à Richmond 1821 et mort à Cambridge 1895, Angleterre.

Sa vie.

Né à Richmond (Angleterre) de marchands anglais établis à Saint-Petersbourg, Cayley a vécu en Russie jusqu'à l'âge de huit ans. Il passa les années 1838-1849 au collège de la Trinité à Cambridge, étudiant les mathématiques et le droit et fut appelé au barreau, en 1849.
En 1863, il obtient une chaire de mathématiques pures de Cambridge et peut enfin se consacrer pleinement aux mathématiques.

Ses travaux.

Ses travaux mathématiques concernent tous les domaines, mais plus spécialeement l'algèbre linéaire, la géométrie, les fonctions elliptiques et la théorie des invariants.
Il est après le mathématicien suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) et le français CAUCHY Augustin-Louis (1789-1857) le plus prolifique des mathématiciens, (ses œuvres complètes comportent 970 articles sur 13 volumes de 600 pages).

CAYLEY généralise la notion de groupe de substitutions (étudiés par CAUCHY). Il introduit entre 1849 et 1854 la notion de groupe abstrait (avec la définition suivante : Un groupe abstrait est un ensemble d'opérateurs qui agissent sur des éléments, et tel que le composé de deux d'entre eux est encore dans l'ensemble).
Il en propose comme exemple les quaternions (avec l'addition) et les matrices (avec la multiplication). Cette définition qui n'exige pas le symétrique passe inaperçue, et il faut attendre le mathématicien allemand KRONECKER Leopold (1823-1891) en 1870 pour avoir une nouvelle tentative de définition abstraite. 
On considère souvent CAYLEY comme l'inventeur des matrices (pour des compléments sur l'histoire des matrices⇒). 
Il introduit l'équation caractéristique d'une matrice, énonce ce que nous appelons maintenant le théorème de Cayley-Hamilton et le «démontre». Il utilise ces travaux pour étudier la géométrie analytique en dimension n dès 1843, indépendamment de GRASSMANN, fonde ainsi la théorie des espaces vectoriels. 
La théorie des invariants est introduite par CAYLEY, (mais le mot est de l'anglais SYLVESTER James Joseph (1814-1897)).
Elle consiste à trouver des propriétés des applications multilinéaires et du déterminant invariantes par changement de base ou de base orthonormale. Normalement appliquée à différents domaines, CAYLEY étudie cette théorie pour elle-même.

Il publie dix articles sur le sujet entre 1854 et 1878 et travaille en particulier sur le jacobien et le hessien. 
CAYLEY introduit en 1859 les coniques projectives comme les points dont les coordonnées annulent une forme quadratique, définit la distance de deux points d'un plan projectif relatif à une forme quadratique et la notion d'angle de deux droites, et il conclut que la géométrie métrique est incluse dans la géométrie projective.
Le mathématicien allemand KLEIN Felix (1849-1925) poursuivra ces travaux.