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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine posé par Cédric Villani, médaille Fields 2010 et directeur de l'Institut Henri-Poincaré concerne la section d'un cube.
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine est posé par Jean-Hervé Cohen, professeur de mathématiques en classe préparatoire. Il vous propose de remplir une "grille de sommes". Objectif : trouver le plus grand des résultats.
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En cette année 2013 des mathématiques, le journal Le Monde propose de relever des défis mathématiques.
Le défi de la semaine posé par Cédric Villani, médaille Fields 2010 et directeur de l'Institut Henri-Poincaré concerne ces nombres palindromiques.
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Énigme : Suite Logique 1.
1
11
21
1211
111221
312211
13112221
.............
Énigme : Suite Logique 1 - Solution.
-
-
- 1
- 11 : il y a un 1 à la ligne précédente.
- 21 : il y a deux 1 à la ligne précédente.
- 1211 : il y a un 2 et un 1 à la ligne précédente.
- 111221 : il y a un 1, un 2 et deux 1 à la ligne précédente.
- 312211 : il y a trois 1, deux 2 et un 1 à la ligne précédente.
- 13112221 .......
- 1113213211
-
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Énigme : Les Dactylos.
Deux dactylos qui ont des vitesses de frappe différentes doivent travailler en parallèle pour exécuter un travail donné.
- L'une serait capable de réaliser ce travail, seule, en 3 heures.
- L'autre le ferait seule en 4 heures.
- Si elles travaillent en parallèle, en combien de temps effectueront-elles le travail donné ?
- Même question avec 3 secrétaires qui effectueraient le travail en 3, 4 et 5h ?
- Plus difficile : Et avec N dactylos qui effectueraient le travail en t1, t2, ....,tN heures ?
Et la solution...
Énigme : Les Dactylos : Solution.
- Pour 2 secrétaires.
En 12 heures,
-
- la première effectuerait 12/3 = 4 fois le travail (noté T donc 4T),
- et la seconde 12/4 = 3 fois (3T).
Soit 7 fois à elles deux. 7T en 12h.
Le temps nécessaire pour l'effectuer 1 fois (1T) est donc de 12/7 heure. (≈ 1h 43 min)
- Pour 3 secrétaires.
De même en 60 heures,
-
- La première effectuerait 60/3 = 20 fois le travail (noté T donc 20T),
- et la seconde 60/4 = 15 fois (15T)
- et la troisième 60/5 = 12 fois (12T) .
Soit 20+15+12 = 47 fois à elles trois. 47T en 60h soit 1T en 60/47 heure. (≈ 1h 17 min)
- Pour N secrétaires.
On peut considérer le PPCM de (t1, t2, ....,tN) ou plus simplement le produit des t1, t2, ....,tN.
Le travail T est effectué n fois avec :
On a donc :
Par exemple en posant :
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Énigme : Les Cannibales.
3 personnes (très intelligentes) sont prisonnières d'une tribu cannibale.
Le chef de la tribu propose un jeu macabre.
"Je dispose de 5 boules dans ce sac, 3 bleues et 2 rouges.
Vous serez attachés chacun à un poteau et placés au sommet d'un triangle équilatéral afin que chacun de vous puisse voir les 2 autres.
Après vous avoir bandé les yeux, je vais disposer sur chacune de vos têtes, l'une des boules.
Par la suite, j'enlève le bandeau, le premier qui devine la couleur de la boule qu'il a sur sa tête sera gracié, et les autres....."
On enlève les bandeaux et vous voyez 2 boules bleues sur la tête de vos amis.
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Vous |
|
|
A |
B |
Après 15 minutes d'une interminable attente, aucun des 3 prisonniers n'a encore donné sa réponse.
Quelle est la couleur de la boule qui est sur votre tête et pourquoi ?
Et la solution...
Énigme : Les canibales : Solution.
|
Vous |
|
|
A |
B |
Si vous aviez une rouge sur la tête :
A verrait alors une rouge et une bleue et puisque B ne se prononce pas, elle serait sûre de ne pas avoir de rouge sur la tête et aurait donné la couleur de sa boule.
En effet, B verrait lui 2 rouges et serait sûr d'avoir une bleue.
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Énigme : Les cannibales, une variante.
Un homme demande à trois de ses amis de se placer en file indienne, de sorte que le dernier de la file voit les deux personnes devant lui, que le deuxième de la file ne voit que voit que celui qui est devant, et que le premier de la file ne voit personne.
Il déclare :
"Je vais placer une boule sur vos têtes. Je la choisis dans un sac de 5 boules, contenant 3 bleues et 2 rouges."
Cela étant fait, il demande au dernier de la file la couleur de sa boule. Celui-ci ne peux pas répondre. Puis il pose alors la même question au deuxième, qui affirme également être incapable de le savoir.
C'est alors que le premier de la file, qui ne voit pourtant aucun des 2 autres, annonce :
"Je peux vous dire la couleur de la mienne".
Quelle est cette couleur ?
Énigme : Les cannibales, une variante : Solution.
On raisonne de la même façon.
Le premier ne pouvant se décider, c'est qu'il doit voir 2 bleues ou 1 bleue et 1 rouge ou 1 rouge et 1 bleue
⇒ Le deuxième ne peut se décider, il voit donc devant lui une bleue car sinon, il serait sûr d'avoir une rouge.
Le dernier est donc certain d'avoir une boule bleue.
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Énigme : Problèmes de pesées 3.
Évariste dispose de deux seaux non gradués :
- l'un de 5L,
- l'autre de 3L.
Il y a de l'eau à volonté près de lui.
Comment peut-il obtenir exactement 4L sans autre matériel ?
Énigme : Problèmes de pesées 3 - Solution.
- On remplit le seau de 5L, et on le vide dans celui de 3L.
Il reste donc 2L dans le seau de 5L. - On vide le seau de 3L et on récupère les 2L de l'autre seau : notre seau de 3 litres contient donc 2 litres.
- On remplit à nouveau le seau de 5L. Comme le seau de 3L en contient 2, si on commence à vider celui de 5L dans celui de 3L, on obtient dans le plus gros seau, 5L - 1L = 4L.
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Énigme : Boîtes et Boules.
Trois boîtes portent respectivement les étiquettes
- "Bleue - Bleue",
- "Bleue - Rouge"
- et "Rouge - Rouge".
Les trois contenus sont en effet deux boules bleues, une boule bleues et une boule rouge, et deux boules rouges. Hélas, à la suite d'une erreur, aucune des étiquettes ne correspond au contenu de la boîte.
Comment déterminer le contenu des trois boîtes en ne tirant qu'une seule boule d'une des trois boîtes ?
Et la solution...
Énigme : Boites et Boules - Solution.
On tire une boule de la boîte marquée "Bleue - Rouge".
L'étiquette étant fausse, cette boîte ne peut contenir que deux boules Bleue, ou deux rouge, ce que l'on sait immédiatement après le tirage.
- Si cette couleur est, par exemple, la couleur Bleue , on en conclut que la boîte marquée "Rouge - Rouge" a un contenu "Bleue - Rouge", et que la boîte "Bleue - Bleue" est en réalité "Bleue - Rouge".
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Énigme : Problème de Périmètre.
Supposons qu'un câble soit tendu sur la terre, à l'emplacement de l'équateur (on suppose que la terre est exactement lisse et sphérique, et on estime la longueur de l'équateur à 40 000 kilomètres).
On ajoute alors un mètre de longueur aux 40 000 kilomètres du câble, et on tend celui-ci, de façon à ce qu'il ait à nouveau une forme parfaitement circulaire. A quelle hauteur se trouve-t-il du sol ?
Faire le même calcule avec un ballon de 1m de diamètre. Étrange non ?
Énigme : Problème de Périmètre - Solution.
Notons R le rayon de la terre.
La longueur L de l'équateur (et donc du câble) est égale à L = 2×π×R.
On ajoute un mètre au câble et on lui redonne une forme circulaire.
Le rayon de ce nouveau cercle est donc R'=R+r, la valeur r correspondant à la hauteur du sol à laquelle se trouve le câble. Comme la nouvelle longueur est L+1, on a :
- 2 π (R+r) = L + 1 donc en développant : 2 π R + 2 π r = 2 π R + 1
- Donc 2 π×r = 1 soit r = 1/(2π).
Le câble se trouve à une hauteur r = 1/(2π) c'est à dire approximativement 16 cm et celà indépendamment de la longueur L.
Cette petite énigme est fascinante à deux titres.
- D'abord, parce qu'il est intuitivement surprenant qu'un ajout dérisoire de 1m à un câble de 40 000 kilomètres provoque une telle augmentation de la hauteur par rapport au sol.
- D'autre part, parce que résultat est totalement universel, c'est à dire que la forme purement circulaire de l'équateur et sa longueur importante ne changent rien au phénomène.
Un lecteur du Guardian s'interrogeait sur la différence de longueur entre la voie extérieure et la voie intérieure du périphérique londonien. Comme le périphérique de Londres est assez long (environ 200 km), la réponse selon laquelle les deux voies ne diffèrent que d'environ 60 mètres de longueur a tout pour étonner !
En fait, le résultat aurait été le même si le périphérique avait été 10 fois plus long, ou davantage biscornu: la forme et la longueur de la courbe ne changent rien, seul l'écart entre les deux courbes parallèles intervient dans la différence de longueur.