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Pythagore triplets pythagoriciensLes Triplets Pythagoriciens.

 

 

 


 

Définition.

Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels non nuls \(\left(x~;~ y~;~z\right)\) vérifiant la relation de Pythagore : 

$$x^{2} + y^{2}= z^{2}$$

Un triplet pythagoricien est primitif si les trois entiers naturels x, y et z sont premiers entre eux. En fait, il suffit d'avoir deux des entiers x, y et z premiers entre eux (puisqu'un diviseur premier commun de deux des nombres divisera le troisième).

  • Propriété.
    Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes et z est impair.

Théorème fondamental.

Il y a équivalence entre

  • (A) : (x ; y ; z) est un triplet pythagoricien primitif avec x impair.
  • (B) : Il existe p et q entiers non nuls avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes tels que : 
    1. x = p² - q²
    2. y = 2pq
    3. z = p² + q² 

=> Démonstration et compléments.


Les triplets primitifs pythagoriciens.

Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :

(3, 4, 5)   (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13)  (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17)  (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25)  (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)


Histoire.

  • La tablette Plimpton 322.
    La tablette nommée Plimpton 322 (parce qu'elle porte le n°322 dans la collection G. A. Plimpton de l'Université Columbia) est sans doute le plus célèbre spécimen des nombreuses tablettes babyloniennes mises à jour (plus de 500 000) et qui traitent des mathématiques babyloniennes.
    Cette tablette, qui date du 17ème siècle av. J.-C., comporte un tableau de nombres cunéiformes rangés sur 15 lignes par quatre colonnes.
    Ce tableau semble, selon certains spécialistes, être une liste de triplets pythagoriciens.

La tablette nommée Plimpton 322 (17e av. J.C.)

Compléments


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