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Le théorème de Bézout et de Bachet de Méziriac ..
L'histoire des mathématiques nous réserve bien des surprises, à qui doit-on vraiment le théorème dit de Bézout enseigné en terminale S ?
Lire la suite : Le théorème de Bézout, de Bachet de Méziriac et l'identité de Bézout
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Une histoire des statistiques
Les statistiques sont une composante essentielle des mathématiques modernes, mais quand sont-elles apparues ?
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- Écrit par : FD
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Conjecture de Erdos–Straus ou Erdős–Straus
En théorie des nombres, la conjecture de Erdős–Straus (ou Erdos–Straus) suppose que pour tout entier \(n \geq 2\), le nombre rationnel \(\dfrac4n\) peut être exprimé comme la somme de trois fractions unitaires.
Cela permet donc de décomposer 4/n en fractions égyptiennes, et ce, avec le moins de fractions (distinctes) possibles.
Paul Erdös et Ernst G. Straus ont formulé la conjecture en 1948. C'est l'une des nombreuses conjectures émises par Erdős.
Plus formellement, cette conjecture affirme que, pour tout entier \(n \geq 2\), il existe des entiers positifs a, b et c tels que :
- Par exemple, pour \(n = 5\), il ya deux solutions :
Paul Erdos et Ernst G. Straus
Paul Erdos (1913 – 1996)
Paul Erdos (1913 – 1996) était un mathématicien hongrois, installé aux Etats-Unis pendant le seconde guerre mondiale pour fuir les persécutions des Nazis. Il est l'un des mathématicien les plus prolifique de son temps, publiant plus de 1 500 "articles scientifiques".
Ernst Gabor Straus (1922 – 1983)
Ernst Gabor Straus (1922 – 1983) était un mathématicien allemand, installé en 1933 à Jérusalem pour fuir les Nazis, puis aux États-Unis.
=> Biography
Les recherches actuelles
Le professeur Allan SWETT, de l'université d'Indianapolis (USA), indique que la conjoncture de Erdos-Strauss, nommée ESC(n), est vraie pour tous les entiers \(n\) de 1 à 1014. Soit pour 100 000 milliards d'entiers !
Évidemment, cela n'est pas suffisant pour prouver qu'elle est vraie pour tous les entiers \(n\) , la démonstration résiste encore, à ce jour, à tous les mathématiciens.
Généralisation
Pour avoir tous les théorèmes de décomposition en fractions unitaires, consultez la page : les fractions égyptiennes.
Sources
- Allan Swett home page.
- Allan Swett : résultats de recherches.
- [KW91] : V. Klee and S. Wagon. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Math. Assoc. of America, 1991, pp. 175177 and 206208.
- http://csi.usc.edu/faculty/golomb-pub.html
- Solomon W. Golomb : "An Algebraic Algorithm for the Representation Problems of the Ahmes Papyrus", The American Mathematical Monthly, Vol. 69, No. 8, October, 1962.
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Conjecture de Sierpiński
En théorie des nombres, la conjecture de Sierpiński suppose que pour tout entier \(n\geq2\), le nombre rationnel \(\dfrac5n\) peut être exprimée comme la somme de trois fractions unitaires.
Le mathématicien polonais Wacław Franciszek Sierpiński (1882 - 1969) a formulé cette conjecture en 1956.
Plus formellement, cette conjecture affirme que, pour tout entier \(n\geq2\), il existe des entiers positifs a, b et c tels que :
Cela permet de décomposer \(\dfrac5n\) en fractions égyptiennes.
- Par exemple, pour \(n = 9\) :
- Par exemple, pour \(n = 13\) :
Généralisation
Pour avoir tous les théorèmes de décomposition en fractions unitaires, consultez la page : les fractions égyptiennes.