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Les Spécimens de Maths en terminale
Les Spécimens de la spécialité mathématiques en terminale et des options maths expertes et maths complémentaire.
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Continuité Pédagogique en Mathématiques
Enseigner avec les outils numériques
Le site www.math93.com vous propose différentes ressources afin de faciliter la continuité pédagogique.
Lire la suite : Continuité Pédagogique en Mathématiques : outils numériques
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Algorithmique au Lycée : programme, attente et activités
Le nouveau programme de mathématiques (à partir de la rentrée 2019) propose différentes activités en algorithmique.
- Les programmes : académie de Paris, espace Mathématiques.
- Aide : produire des documents intégrant du code Python.
Les supports de math93.com
Le site www.math93.com proposent de nombreuses ressources pour produire des activités sous Python liées au programme de mathématiques.
Les thèmes imposés par le programme sont ci-dessous listés.
- Python l'essentiel : débuter en Python, l'essentiel.
- Activités liées au programme de mlathématiques
- Les activités algorithmiques de seconde : math93.com
- Les activités algorithmiques de première : math93.com
- Les activités algorithmiques de terminale : math93.com
- installer Python au lycée : Python.
Installation sur poste ou en ligne, premiers pas avec des TD corrigés et fiches d'aide.
1. Activités de seconde
Programme de seconde en algorithmique (lien)
Utiliser les variables et les instructions élémentaires
- Contenus
- Variables informatiques de type entier, booléen, flottant, chaîne de caractères.
- Affectation (notée ← en langage naturel).
- Séquence d’instructions.
- Instruction conditionnelle.
- Boucle bornée (for), boucle non bornée (while).
- Capacités attendues
- Choisir ou déterminer le type d’une variable (entier, flottant ou chaîne de caractères).
- Concevoir et écrire une instruction d’affectation, une séquence d’instructions, une instruction conditionnelle.
- Écrire une formule permettant un calcul combinant des variables.
- Programmer, dans des cas simples, une boucle bornée, une boucle non bornée.
- Dans des cas plus complexes : lire, comprendre, modifier ou compléter un algorithme ou un programme.
- Choisir ou déterminer le type d’une variable (entier, flottant ou chaîne de caractères).
Notion de fonction
- Contenus
- Fonctions à un ou plusieurs arguments.
- Fonction renvoyant un nombre aléatoire. Série statistique obtenue par la répétition de l’appel d’une telle fonction.
- Capacités attendues
- Écrire des fonctions simples ; lire, comprendre, modifier, compléter des fonctions plus complexes. Appeler une fonction.
- Lire et comprendre une fonction renvoyant une moyenne, un écart type. Aucune connaissance sur les listes n’est exigée.
- Écrire des fonctions renvoyant le résultat numérique d’une expérience aléatoire, d’une répétition d’expériences aléatoires indépendantes.
Exemples d'algorithmes figurant dans le programme officiel
- Déterminer par balayage un encadrement de \(\sqrt{2}\) d’amplitude inférieure ou égale à \(10^{-n}\) .
Arithmétique - Déterminer si un entier naturel a est multiple d’un entier naturel b.
- Pour des entiers a et b donnés, déterminer le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.
- Déterminer si un entier naturel est premier.
- Déterminer la première puissance d’un nombre positif donné supérieure ou inférieure à une valeur donnée.
Géométrie - Étudier l’alignement de trois points dans le plan.
- Déterminer une équation de droite passant par deux points donnés.
Fonctions - Pour une fonction dont le tableau de variations est donné, algorithmes d’approximation numérique d’un extremum (balayage, dichotomie).
- Algorithme de calcul approché de longueur d’une portion de courbe représentative de fonction.
Statistiques
En liaison avec la partie « Algorithmique et programmation », on définit la notion d’échantillon. L’objectif est de faire percevoir, sous une forme expérimentale, la loi des grands nombres, la fluctuation d’échantillonnage et le principe de l’estimation d’une probabilité par une fréquence observée sur un échantillon. Échantillon aléatoire de taille n pour une expérience à deux issues. Version vulgarisée de la loi des grands nombres : « Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. » Principe de l’estimation d’une probabilité, ou d’une proportion dans une population, par une fréquence observée sur un échantillon.
- Lire et comprendre une fonction Python renvoyant le nombre ou la fréquence de succès dans un échantillon de taille n pour une expérience aléatoire à deux issues.
- Observer la loi des grands nombres à l’aide d’une simulation sur Python ou tableur.
- Simuler N échantillons de taille n d’une expérience aléatoire à deux issues.
Si p est laprobabilité d’une issue et ƒ sa fréquence observée dans un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre p et ƒ est inférieur ou égal à \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) .
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2. Activités de première
Programme de première en algorithmique (lien)
Notion de liste
La génération des listes en compréhension et en extension est mise en lien avec la notion d’ensemble. Les conditions apparaissant dans les listes définies en compréhension permettent de travailler la logique. Afin d’éviter des confusions, on se limite aux listes sans présenter d’autres types de collections.
Capacités attendues
- Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension).
- Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer…) et leurs indices.
- Parcourir une liste.
- Itérer sur les éléments d’une liste.
Exemples d'algorithmes figurant dans le programme officiel
- Suites
Calcul de termes d’une suite, de sommes de termes, de seuil. - Calcul de factorielle.
- Liste des premiers termes d’une suite : suites de Syracuse, suite de Fibonacci.
Analyse - Écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.
- Méthode de Newton, en se limitant à des cas favorables.
- Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler. Détermination d’une valeur approchée de e à l’aide de la suite \(\left(1+\dfrac1n\right)^{n}\).
Trigonométrie - Approximation de π par la méthode d’Archimède.
Probabilités et statistiques - Méthode de Monte-Carlo : estimation de l’aire sous la parabole, estimation du nombre π.
- Algorithme renvoyant l’espérance, la variance ou l‘écart type d’une variable aléatoire.
- Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné, en français, en anglais : TD algorithmique
Expérimentations.
Le travail expérimental de simulation d’échantillons prolonge celui entrepris en seconde. L’objectif est de faire percevoir le principe de l’estimation de l’espérance d’une variable aléatoire, ou de la moyenne d’une variable statistique dans une population, par une moyenne observée sur un échantillon. - Simuler une variable aléatoire avec Python.
- Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire
- Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille n d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire.
- Simuler, avec Python ou un tableur, N échantillons de taille n d’une variable aléatoire, d’espérance μ et d’écart type σ. Si m désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre m et μ est inférieur ou égal à 2σ / n .
- Les activités algorithmiques de première : math93.com
3. Activités de terminale
Programme de terminale en algorithmique (lien)
- Programme identique à celui de première
Notion de liste
La génération des listes en compréhension et en extension est mise en lien avec la notion d’ensemble. Les conditions apparaissant dans les listes définies en compréhension permettent de travailler la logique. Afin d’éviter des confusions, on se limite aux listes sans présenter d’autres types de collections.
Capacités attendues
- Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension).
- Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer…) et leurs indices.
- Parcourir une liste.
- Itérer sur les éléments d’une liste.
Exemples d'algorithmes figurant dans le programme officiel
Combinatoire et dénombrement
- Pour un entier n donné, génération de la liste des coefficients binomiaux \( \begin{pmatrix}{n}\\{k}\end{pmatrix}\) à l’aide de la relation de Pascal.
- Génération des permutations d'un ensemble fini, ou tirage aléatoire d'une permutation.
- Génération des parties à 2, 3 éléments d'un ensemble fini.
Suites - Recherche de seuils.
- Recherche de valeurs approchées de π, e, \(\sqrt{2}\), \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) , ln 2, etc.
Continuité des fonctions d’une variable réelle - Méthode de dichotomie.
- Méthode de Newton, méthode de la sécante.
Fonction logarithme - Algorithme de Briggs pour le calcul du logarithme.
Primitives, équations différentielles - Résolution par la méthode d’Euler de \(y’ = ƒ\), de \(y’ = ay + b\).
Calcul intégral - Méthodes des rectangles, des milieux, des trapèzes.
- Méthode de Monte-Carlo.
- Algorithme de Brouncker pour le calcul de ln(2).
Probabilités - Simulation de la planche de Galton.
- Problème de la surréservation.
Étant donné une variable aléatoire binomiale X et un réel strictement positif α, détermination du plus petit entier k tel que P(X > k) ⩽ α. - Simulation d’un échantillon d’une variable aléatoire.
Concentration et loi des grands nombres - Calculer la probabilité de (│Sn - pn│ > n), où Sn est une variable aléatoire qui suit
une loi binomiale ℬ(n,p). Comparer avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. - Simulation d’une marche aléatoire.
- Simuler N échantillons de taille n d’une variable aléatoire d’espérance \(\mu\) et d’écart type \(\sigma\) .
Calculer l’écart type s de la série des moyennes des échantillons observés, à comparer à \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) .
Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l’écart entre la moyenne et \(\mu\) est inférieur ou égal à ks, ou à \(\dfrac{k\sigma}{\sqrt{n}}\) , pour \(k = 1, 2, 3\).
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Les règles typographiques
COMPOSITION DES TEXTES SCIENTIFIQUES
Voici un document proposé par les inspecteurs de mathématiques IGEN, GROUPE DES MATHÉMATIQUES.
La composition des textes imprimés, en particulier des textes scientifiques, obéit à un certain nombre de règles, qui étaient connues des typographes. La composition moderne sur ordinateur à l’aide d’un traitement de textes fait que la plupart des textes d’examen sont maintenant composés par des personnes ignorant les règles de la composition typographique. Le but de ce texte est de permettre de rectifier d’éventuelles erreurs typographiques lors des relectures de sujets d’examen, et d’arriver ainsi à une normalisation des sujets de mathématiques.
L’ouvrage de référence en la matière s’intitule : « Lexique des RÈGLES TYPOGRAPHIQUES en usage à l’Imprimerie Nationale »
(éditeur : Imprimerie Nationale)
1. Les polices de caractères
Il vaut mieux dans un texte n’employer qu’une police de caractères pour le texte courant. Avec les traitements de texte usuels c’est la police Times (ou Times New Roman) qui donne la meilleure lisibilité. Dans cette police on emploie trois styles : romain (dit aussi ordinaire), italique, et gras (ou italique-gras).
Pour les mathématiques, on utilise aussi :
- La police Symbol, donnant les lettres grecques et certains signes (voir ci-dessous) ;
- la police Nombre, donnant notamment les signes ≥ et ≤ ;
- éventuellement une police, comme Atalante, donnant les lettres rondes anglaises (cursives).
- Le style gras est utilisé dans les titres, ou pour mettre en évidence une partie du texte (on évitera le style souligné).
- Les locutions latines
Les locutions latines non francisées, comme a priori ou a fortiori doivent être écrites en italique dans un texte en romain.
En revanche les locutions latines francisées, comme maximum(s) sont composées en romain. - Pour les locutions abrégées, il n’y a pas de règle générale :
etc., cf. ou N. B. se composent en romain, mais i.e. en italique (voir [RT] page 7).
En dehors de cas précisés ci-dessus, la composition en italique est essentiellement utilisée dans les formules de mathématiques.
2. Les nombres
Les nombres cardinaux sont en règle générale composés en chiffres arabes. Dans le cas des nombres décimaux, la virgule n’est ni suivie ni précédée d’un blanc.
- Ils s’écrivent par tranches de 3 chiffres à partir de la virgule séparées par une espace1 insécable non dilatable.
- On ne met pas de blanc (les chiffres sont donc collés) lorsque le nombre cardinal a une valeur de numérotage : le 6 octobre 1997, la page 1251.
- Pour les nombres ordinaux abrégés, on utilise des exposants
– 1er, 1re pour premier, première (et non 1ère) ;
– 2e , 3e pour deuxième, troisième (et non 2ème , 3ème) ;
– 1˚, 2˚, 3˚ pour primo, secundo, tertio. - En revanche les nombres ordinaux contenant une variable se notent sans exposant :
- n-ième, p-ième pour énième, péième (et non nème , pème ).
- Deux exceptions : i-ème, j-ème.
- On ne met jamais la marque de l’ordinal quand il s’agit du dénominateur d’une fraction :
une carte au 1/25 000 (et non 1/25 000e).
3. Les unités
Les unités sont représentées par des symboles (et non des abréviations), qui n’ont donc pas à être
suivis d’un point. Ils sont écrits en romain.
- Unités de temps : h pour heure (et non H), min (et non mn) pour minute, s pour seconde.
- Le litre admet pour notations L ou l selon le Bureau international des poids et mesures ; néanmoins, il est vivement recommandé de ne pas utiliser la notation l (en minuscule) lorsqu’elle prête à confusion avec le chiffre 1. On pourra éventuellement recourir à une lettre ronde : 3,5ℓ = trois litres et demi.
- Pour les sommes d’argent, l’euro est noté € (et non E ni EUR), et est considéré comme une unité :
une somme de 3,55 € (et non 3 € 55).
On admet k€ (kiloeuro) et M€ (mégaeuro), mais ils doivent être définis dans le texte.
4. Les mathématiques
En règle générale, pour écrire des formules et symboles mathématiques, il vaut mieux utiliser l’éditeur d’équations (ou le format mathématique), dans lequel on aura fait les réglages adéquats.
Les réglages par défaut sont (presque) satisfaisants mais ils correspondent aux conventions anglosaxonnes. Il est parfois demandé de composer les sujets d’examen au moyen d’une police de caractères sans empattements (dite sans-serif).
Les formules mathématiques
- Pour ce qui concerne les formules mathématiques, les polices sans empattements donnent en général de mauvais résultats car elles créent des ambiguïtés gênantes.
- On se méfiera de l’usage immodéré de la police de caractères Symbol ; en effet, cette police n’est pas correctement normalisée, il en existe différentes versions (incompatibles) suivant les systèmes d’exploitation, ce qui peut occasionner des mésaventures lors de l’impression de fichiers PDF, surtout lorsque les polices de caractères ne sont pas incluses dans le fichier.
- Dans l’alphabet latin, les minuscules qui correspondent à des variables, des inconnues, des indices, etc., sont écrites en italique.
- Néanmoins, sont écrits en romain les identificateurs de fonctions et constantes prédéfinies :
- les noms des fonctions usuelles sin, cos, ln, log, exp, etc.
- les constantes :
- e ( = exp(1) ) ;
- i (base des imaginaires purs) ;
- le symbole d (pour écrire un « élément différentiel » d t ou d x).
- Pour les majuscules latines, en revanche, on emploie de préférence le romain lorsqu’il s’agit de points, de variables ou d’indéterminées. Mais pour les ensembles (en particulier les ensembles de points en géométrie : droites, plans, cercles, courbes, etc.), on a intérêt à utiliser des italiques, voire des cursives :
- la courbe \(\mathscr{C}\), la droite \(\mathscr{D}\), le plan \(\mathscr{P}\).
Notons que dans ce cas, il n’est pas indispensable de mettre le symbole entre parenthèses. Il vaut mieux répéter à chaque fois la nature de l’objet : « Soit M un point de la droite \(\mathscr{D}\) … ».
- la courbe \(\mathscr{C}\), la droite \(\mathscr{D}\), le plan \(\mathscr{P}\).
- Les lettres grecques, minuscules ou majuscules sont en général écrites en romain, l’essentiel étant d’adopter un même style pour tout le texte. Les chiffres et les signes opératoires ou relationnels sont toujours en romain. Une attention toute particulière est recommandée sur les deux points suivants :
– pour désigner une limite par la lettre l, il vaut mieux utiliser une cursive ℓ, qui figure par exemple dans la police MT-Extra ;
– pour le signe de multiplication, il ne faut pas employer la lettre x ou X, mais le signe spécial × qui figure notamment dans la police Symbol.
- Les ensembles de nombres sont normalement écrits en gras dans un texte imprimé :
- \( \mathbb{N}\), \( \mathbb{Z}\), \( \mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), les caractères « éclaircis » ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ étant en principe réservés à l’écriture au tableau.
- De toutes façons, il faut rappeler les conventions en début de texte chaque fois qu’il peut y avoir ambiguïté.
Les textes mathématiques : en français
- Les textes de mathématiques s’écrivent en français, et on évitera d’utiliser dans le texte les opérateurs mathématiques =, <, ≤, ∈ (ils ne peuvent tenir lieu de verbes).
- On les réservera au mode des « mathématiques centrées » (disposition de page où une grande formule occupe seule la position centrale d’une ligne).
- À l’inverse, dans ce mode, on évitera les termes du langage courant, à l’exception des mots « et, ou, non » , dont les équivalents mathématiques ne sont pas utilisés au lycée.
- Pour terminer, il faut se rappeler que l’essentiel est de conserver dans un texte un style unifié.
Il ne faut pas, par exemple, que \(f (x)\) apparaisse en romain f(x) dans le texte, en italique f(x) dans les formules, et en écriture bâton ou en style machine à écrire dans les figures.
Sources
- Pour en savoir plus, voici le document original : lien