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Maths secondeTerminale Spécialité Maths : Intégration

 

Le chapitre traite des thèmes suivants : intégration

 Intégrale sur l'intervalle [a ; b]

 

Un peu d'histoire de l'intégration

Archimède, le père fondateur !
L'intégration prend naissance dans les problèmes d'ordre géométrique que se posaient les Grecs : calculs d'aires (ou quadratures), de volumes, de longueurs (rectifications), de centres de gravité, de moments. Les deux pères de l'intégration sont Eudoxe de Cnide (- 408 ; - 355) et le légendaire savant sicilien, Archimède de Syracuse (-287 ; -212).

Archimède de Syracuse (-287 ; -212)Archimède (-287 , -212)

On attribue à Eudoxe, repris par Euclide, la détermination des volumes du cône et de la pyramide. Le travail d'Archimède est bien plus important : citons, entre autres, la détermination du centre de gravité d'une surface triangulaire, le rapport entre aire et périmètre du cercle, le volume et l'aire de la sphère, le volume de la calotte sphérique, l'aire du « segment » de parabole, délimité par celle-ci et une de ses cordes.

Les européens
Les mathématiciens Européens du17e siècle vont partir de l'oeuvre d'Archimède. Ils vont utiliser conjointement les méthodes rigoureuses et apagogiques (par l'absurde) d'Archimède, et, les indivisibles. Par l'une ou l'autre de ces méthodes, Cavalieri (1598-1647), Torricelli (1608-1647), Roberval (1602-1675), Fermat (1601-1665) réalisent de nombreuses quadratures, en particulier celle de l'aire sous la courbe d'équation ci-dessous jusqu'à l'abscisse a.

$$y = x^n ~~;~~n \in \mathbb{N}$$

Le savant français Blaise Pascal (1623-1662) prolonge les calculs et fournit quelques avancées manifestes.

Newton et Leibniz
Le calcul infinitésimal va alors se développer sous l'influence des deux mathématiciens et physiciens, l'anglais Newton (1643-1727) et allemand Leibniz (1646-1716). Indépendamment l'un de l'autre, inventent des procédés algorithmiques ce qui tend à faire de l'analyse dite infinitésimale, une branche autonome des mathématiques. Newton publie en 1736 sa méthode la plus célèbre, la méthode des fluxionse et des suites infinies.

Les notations mathématiques liées à l'intégration

  • La première notation de Leibniz pour l'intégrale fut d'abord omn. (omnes = tout), puis rapidement, celle qu'il nous a léguée, S, initiale de Somme, qu'il utilise conjointement au fameux « dx », souvent considéré comme un infiniment petit.
  • Le mot « intégrale » est dû à son disciple Jean Bernoulli (lettre à Leibniz du 12. 2. 1695).
  • La notation \(\displaystyle \int_{a}^{x}\)  est due à Fourier (1768-1830).

Le Théorème fondamentale

  • Théorème (simplifié) : Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) alors la fonction \(F\) définie ci-dessous est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est \(f\). Pour \(a\) et \(x\) de \(I\) :

$$F(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)~\text{dt} \Longrightarrow F'(x)=f(x)$$

Le premier énoncé (et sa démonstration) d'une forme partielle du théorème fut publié par James Gregory en 1668. Isaac Barrow en démontra une forme plus générale, mais c'est Isaac Newton (élève de Barrow) qui acheva de développer la théorie mathématique englobant le théorème. Gottfried Leibniz systématisa ces résultats sous forme d'un calcul des infinitésimaux, et introduisit les notations toujours actuellement utilisées.

Vers une définition rigoureuse
L'intégrale telle que nous la concevons aujourd'hui (au lycée) est celle dite de Riemann, du nom du mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826-1866), qui énonce une définition rigoureuse dans un ouvrage de 1854, mais qui sera publié à titre posthume en 1867.
L'intégrale de Lebesgue (Henri Lebesgue, 1902) est elle abordée en post-bac et permet de généraliser le concept d'intégrale de Riemann.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)Bernhard Riemann (1826-1866)

 

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