Le nombre pi

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∏ : Une légende.


Le nombre pi est au coeur des mathématiques et malgré plus de 4 000 ans de travail, les mathématiciens arrivent encore à lui trouver quelques mystères. Il s'immisce dans des domaines aussi variés que la géométrie, l'analyse, les statistiques, la physique, l'algèbre, les probabilités.

  • En géométrie car il fut longtemps considéré comme un rapport, celui du périmètre d'un cercle de rayon r par son diamètre en géométrie euclidienne. La lettre π vient d'ailleurs de l'initiale grecque du mot périmètre. 
    => Pour en savoir plus sur la numération grecque.

  • En analyse car il est limite de certaines sommes infinies, produits infinis, fractions continues, racines emboitées dont certaines facilitent son calcul.

  • En algèbre car après des recherches sur les nombres transcendants et irrationnels, on a pu "résoudre" par exemple le problème de la quadrature du cercle.

  • En probabilité même il intervient parfois dans quelques lois continues ou dans des problèmes amusants (aiguille de Buffon).

 


1. Définitions.

Première définition et problème.
Le nombre pi est habituellement défini comme :

Pi est le rapport du périmètre P d'un cercle de rayon r par son diamètre.
C'est donc le périmètre d'un cercle de diamètre 1, comme cette animation le suggère.

Pi-unrolled slow
Animation de John Reid & Arpad Horvath

Mais est-on sur que ce rapport P/2r reste fixe lorsque la taille du cercle varie ?

En fait, le problème est beaucoup compliqué qu'il n'y parait.
En géométrie euclidienne, dans des espaces plats, la réponse est oui. On peut facilement le montrer grâce au théorème de Thales, en considérant des polygones réguliers inscrits dans le cercle et en faisant tendre le nombre de leurs côtés vers l'infini.

Cependant, depuis le début du 20ème siècle, nous "savons" grâce à la relativité générale que notre espace n'est pas euclidien. Dans notre monde physique, le rapport n'est pas vraiment indépendant du cercle. Puisque la courbure de l'espace varie en fonction des masses présentes, le rapport P/2r du cercle que vous tracez sur une feuille varie lorsque vous passez la main au-dessus !!!!!

Intéressons-nous donc plutôt au π des mathématiciens, c'est plus "simple"...quoi que!.

Pi est donc dans un espace plat le périmètre d'un cercle de diamètre 1.

Définitions géométriques.

  • Une autre définition possible de pi est donnée par le rapport de la surface d'un cercle par le carré de son rayon.
    Pi = S/r². On peut facilement montrer que ces 2 définitions caractérise le même nombre.
  • On peut aussi considérer que pi = 3/4 du volume d'une boule de rayon 1.
  • ou 1/4 de la surface d'une sphère de rayon 1.

Définition arithmétique.
Dessinons un carré de (2n+1)*(2n+1) points, régulièrement espacés de 1/2n et comptons les points qui sont à une distance du point central O inférieure à 1. En calculant le rapport de ce nombre au nombre total de points compris dans le carré de coté 2 centré sur le point O on obtient une approximation de ∏ /4.

Définition mathématique plus rigoureuse (niveau post-bac)

La littérature mathématique actuelle ne définit pas pi géométriquement mais plutôt grâce à l'analyse.

  • Le groupe Bourbaki (20ème siècle) défini pi grâce aux propriétés des fonctions circulaires.
    C'est le nombre réel qui apparait dans la dérivée de la fonction qui a x associe ex,
    homéomorphisme continu du groupe additif IR sur le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1.

    On a ( ex )' = 2 π ex .

  • Dans Analyse de J.M. Arnaudiès et H.Fraisse (Dunod, Paris, 1968),
    pi est le double de l'unique racine de l'équation cos x = 0 comprise entre 0 et 2.

    La fonction cos étant définie par la formule : cos z = (eiz + e-iz)/2 avec z nombre complexe et i le nombre imaginaire tel que i²=-1.

  • On peut encore comme le fait Guy Auliac [AuCA]page 418 considérer le morphisme de groupes g de (R,+) dans (C* , .) tel que g(t)= e it .
    Son noyau est un sous-groupe additif de IR, qui ne peut être dense dans IR, car l'application g étant continue, elle serait constante égale à 1.

    Le noyau de g est de la forme kZ (car c'est un sous groupe additif de R) pour un certain k>0.
    Alors on pose pour définition π = k/2 .

2. La course aux décimales de Pi.



3. La notation π.

  • William Oughtred (1574-1660) utilise le symbole π comme quotient de deux valeurs dans des mathematicae de Clavis. Cela représente pour lui le périmètre d'un cercle. [HaSu] p 185

  • La première personne pour employer le π en tant que rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle (3.14159...) est William JONES (1675-1749) en 1706 dans des mathesios de palmariorum de synthèse.
    On croit qu'il a employé la lettre grecque pi parce que c'est la première lettre dans le perimetron (= périmètre).
« Il y a de diverses autres manières de trouver les longueurs ou les secteurs des lignes particulières de courbe, ou avions, qui peuvent beaucoup faciliter la pratique ; en tant que par exemple, en cercle, le diamètre est à la circonférence en tant que [..] &c = π. Cette série ..»
  • En 1734, Leonhard Euler (1707-1783) a utilisé p au lieu du π dans « le reciprocarum de serierum de De summis. ».

  • Dans une lettre du 16 avril 1738, de Stirling à Euler, aussi bien que dans la réponse d'Euler, la lettre p est employée.

  • En 1736 dans l'exposita sive d'analytice de scientia de motus de Mechanica, Euler a employé le π et

« a consciemment adopté ainsi la notation de Jones ou est indépendamment tombé sur lui » ([CajoV2], page 10).

  • Euler a écrit,

« est d'enim de silicium m = le denotante 1 de l'inuenitur π/2 de respondens de terminus de 1/2 : peripheriam d'annonce de diametri de rationem de π. ».

Mais la lettre n'est pas limitée à cette utilisation dans son Mechanica, et la définition du π est répétée quand elle est prise pour 3.14159...

  • Euler en 1737 utilise π utilisé pour 3.14159... dans une lettre, et encore dans diverses lettres en 1737, 1738, et 1739.

  • Johann Bernoulli a employé c en 1739, dans sa correspondance avec Euler, mais dans une lettre de 1740 il a commencé à employer le π.

  • En 1741 le π a été employé dans les Tableaux mathématiques de H. Sherwin.

  • Nikolaus Bernoulli a utilisé le π dans ses lettres à Euler de 1742.

  • Euler a popularisé l'utilisation du π en l'utilisant en 1748 dans Introductio dans Analysin Infinitorum :
Hujus Circuli de Peripheriam de liquet de Satis dans de numeris de rationalibus d'exacte d'exprimi la bande non, par est d'inventa d'autem d'approximationes. l'esse = 3.14159 [etc., à 128 endroits], pro numero de quo, ergo de brevitatis, π de scribam, ut d'ita reposent le π = le Semicircumferentiae Circuli, rayon de cujus = 1, graduum d'Arcus 180 de longitudo d'erit de π de seu.
 


A suivre : 


Bibliographie

[1] Jean-Paul DELAHAYE, "Le fascinant nombre pi", Pour la science diffusion Belin - Paris 1997
[2] Guy AULIAC et J-Y. CABY, "Analyse", Ellises, Paris 2002