Le conflit Tartaglia - Cardan et la résolution des équations de degré 3.


C'est Scipione Del Ferro (1465-1 526), professeur de mathématiques à Bologne, qui le premier parvient à trouver une méthode permettant de résoudre certaines équations du 3ème degré. Longtemps, il conserve secrète sa méthode (comme il est coutume de le faire à l'époque) puis finit par la communiquer à son gendre, Annibal de la Nave, lui aussi mathématicien.

Ce dernier la communique à l'un de ses amis, Anton Maria Del Fiore en 1526, qui garde le secret jusqu'à la mort de Scipione Del Ferro. Par la suite, Anton Maria Del Fiore ne divulgue pas la méthode mais par contre décide de lancer des défis aux mathématiciens (quelques centaines tout au plus à cette époque) en son propre nom sur la résolution de ces équations.

En 1535, Tartaglia releva le défi algébrique et une sorte de duel s'engagea entre les deux hommes. Chacun déposa une liste de 30 problèmes chez un notaire ainsi qu'un somme d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.

  • Exemple de problème : ils sont tous de la forme x3 + px = q
    " Trouver un nombre qui, ajouté à sa racine cubique, fasse 6"

    Donc avec les notations actuelles, trouver x tel que : x + 3√ x = 6.
    Pour résoudre cette équation on pose x = a3 et on obtient a3+ a = 6 que l'on sait résoudre avec la méthode exposée sur la page équations.

Dans la nuit du 12 au 13 février, juste avant la date limite, Tartaglia trouve la résolution générale de ce type d'équation et il les résout toutes en quelques heures. Il remporte alors le concours mais refuse le prix (trente banquets). Trop heureux de sa méthode, il décide de ne pas la divulguer afin de gagner facilement d'autres concours.

Cardan apprend l'exploit de Tartaglia et se doute que ce dernier a trouvé la solution au problème que nombres de mathématiciens cherche depuis des années (voir des siècles). Usant de sa notoriété d'alors, Il le fait venir à Milan. Après plusieurs entretiens, il lui arrache sa méthode en lui promettant de ne jamais la divulguer.

On raconte que Tartaglia, du fait de son handicap, vouait une certaine admiration pour les médecins. Cardan en usa avec fourberie !

Cardan prolonge alors les travaux de Tartaglia et trouve une méthode plus générale encore de résolution des équations de degré 3.

Tartaglia avait trouvé la méthode de résolution des équations de la forme : x3 + px = q.

Cardan, obtient celle des équations de la forme : ax3 + bx² + cx + d = 0

Il apprend alors que Scipione Del FERRO avait trouvé la solution avant Tartaglia, il considère alors que la parole donnée ne vaut plus rien et publie, en 1545, ses résultats dans son ouvrage resté célèbre Ars Magna.

La querelle qui suit devient énorme et le pauvre Tartaglia manque d'en perdre la vie.

L'Histoire ne sera en outre pas favorable à Tartaglia. La méthode de résolution des équations de degré 3 est encore appelée méthode de Cardan dans la plupart des livres post-Bac.
Peu d'étudiants connaissent même le nom de Tartaglia, qui pourtant, aurait mérité reconnaissance et postérité !

En effet, avec cette méthode, seront introduit les nombres complexes, c'est à dire les nombres de la forme a + ib avec i = √(-1), étudiés actuellement en terminale scientifique.

Tout d'abord, comme une étape intermédiaire au calcul des solutions réelles de l'équation, les nombres complexes deviendront vite une nouvelle entité mathématique. Ils vont fournir un prolongement de l'ensemble des nombres réels et trouveront des applications multiples en physique.

⇒ Pour en savoir plus sur l'histoire des équations.