Sommaire :
1. Sa Vie
2. L'apport mathématique d'Euler.
3. Les oeuvres d'Euler.
4. Les notions mathématiques liées à Euler.
5. Symboles introduits par Euler.
6. Références.
1. Sa vie.
Le mathématiciens suisse Leonhard Euler est fils et petit-fils de pasteurs protestants.
A 13 ans il entre à l'université de Bâle où il suit des cours de droit et de philosophie. Il est rapidement remarqué par le mathématicien Jean Bernouilli (1667-1748) qui lui donne des cours particuliers chaque semaine et l'encourage à étudier les mathématiques.
Euler sort diplômé de philosophie à 16 ans et entre dans le département de théologie pour devenir pasteur comme son père.
Il poursuit parallèlement à ses étude théologiques, ses recherches mathématiques et parvient à en tirer une notoriété certaine.
En 1727, Nicolas et Daniel Bernouilli le cooptent, pour qu'il obtienne une place à l'académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Il en devient professeur de mathématique en 1733 suite au remplacement de Daniel Bernouilli (1700-1782) parti en Russie.
Il épouse alors la fille d'un artiste russe dont il a 13 enfants ( il pouvait parait-il rédiger un article mathématique en s'occupant de ses enfants).
Euler perd l'usage de l'oeil droit à la suite d'une fièvre importante.
Le souverain Frédéric le Grand (1740-1772) (Frédéric II de Prusse) souhaite réorganiser l'Académie de Berlin et invite Euler à y participer.
Le "cyclope mathématique" comme le surnomme Frédéric II de Prusse un peu péjorativement, a bien du mal à se faire à l'ambiance de la Cour.
Euler a 13 enfants dont 8 meurent très jeunes. Quant aux autres, il devinrent presque tous des mathématiciens respectables.
L'ainé, Jean Albert (1734, Saint-Pétersbourg - 1810), partagea plusieurs prix à l'Académie des sciences avec Charles Bossut et Alexis Claude Clairaut, et enseigna la physique à St-Pétersbourg.
Charles(1740-1800), remporta également plusieurs prix à l'Académie des sciences et exerça la médecine à Saint-Pétersbourg (il fut médecin de l'empereur).
Christophe,(1743,Berlin-1805), se consacra au génie militaire.
Euler devient aveugle en 1771 mais continue à dicter ses texte scientifiques à ses fils ou à son valet grâce à sa mémoire colossale - il peut réciter 9 000 vers de l'Enéide par coeur-.
On raconte que se préparant à sa cécité inéluctable, il s'était progressivement habitué à ne plus écrire mais à dicter ses démonstrations.
Il publie presque la moitié de son oeuvre pendant ces 17 année de cécité, et certaines ont un succès colossal.
L'" Introduction à l' algèbre" par exemple est un modèle de clareté et de rigueur que certain attribue à son handicap.
Il meurt à 76 ans au cours d'une réunion avec des amis (il buvait du thé).
2. Son apport mathématique.
Euler est un des grands, voir pour certain le plus grand mathématicien de tous les temps.
Son oeuvre gigantesque. Il aborde tous les domaines des mathématiques.
La notion de fonction.
Il met au premier plan le concept de fonction, défini de façon formelle comme :
« une expression analytique composée d'une manière quelconque d'une quantité variable et de nombres ou de quantités constantes ».
Cette définition reprend celle que BERNOULLI Johann francisé Jean (1667-1748) avait déjà donnée (le terme avait été introduit par LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716)).
La fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques.
Euler donne dans l'Introductio ( chap. VI à VIII) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : La fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques y sont envisagées ainsi pour la première fois.
. L'exponentielle a^z (où a > 0 est une constante) est définie par interpolation pour z réel, entre les valeurs rationnelles de z, et le logarithme est défini comme fonction inverse de l'exponentielle ;
La notation e pour ce nombre est due à Euler, qui l'utilisait depuis 1728.
. Les fonctions circulaires sin et cos sont, pour la première fois, considérées comme des fonctions d'une variable réelle (ou même complexe) et non plus comme des lignes qui dépendent d'un angle ; elles sont liées à l'exponentielle par les célèbres formules d'Euler :
Calculs sur les séries.
Dans l'Introductio, il manipule les séries et les produits infinis sans se soucier des problèmes de convergence. Il trouve le développement de sin z en produit infini :
On lui doit le calcul des sommes : ∑1/(2n+1)² , ∑(-1)n/n² et ∑1/n2k
Equations différentielles.
Dans Institutiones calculi differentialis (1755), il propose une véritable synthèse de toutes les méthodes de résolution des équations différentielles linéaires (solution de l'équation homogène, solution particulière..).
Il donne la méthode de résolution de l'équation qui porte son nom par le changement de variable x = exp(t) et de l'équation de RICCATI.
Quadriques.
Il classe les surfaces en fonction du degré de leur équation et il introduit les quadriques, analogue des coniques en dimension 2.
Les fractions continues (ou continuées) sont étudiées tout d'abord par BROUNCKER William (1620-1684) qui correspond avec WALLIS John (1616-1703, Angleterre) dès 1655, il lui expose une expression de pi. EULER Leonhard (1707 - 1783) développe une théorie générale de cette notion. [Dieudo] p 30
Les intégrales doubles.
Les intégrales doubles
apparaissent à la fin du 17ème siècle chez BERNOULLI Johann francisé Jean (1667-1748) et l'allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716), mais la théorie générale est développée dans un mémoire du suisse EULER Leonhard (1707 - 1783) de 1789. Il donne la formule du changement de variables (lorsque l'orientation est conservée) et l'applique pour calculer des volumes et des aires de surfaces courbes. [Dieudo] p 25
3. Oeuvres principales.
Euler est l'auteur de trois grands traités sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l'Introductio in analysin infinitorum (1748), les Institutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770).
Le premier livre de l'Introductio est consacré au calcul « algébrique » sur les fonctions, au second livre, il applique les méthodes et les résultats du premier livre à des problèmes de géométrie (étude des courbes algébriques ou transcendantes, surfaces, changements d'axes de coordonnées).
- De fractionibus continuis (1737)
- Introductio in analysis infinitorum (1748)
- Institutiones calculi differentialis (1755)
- Institutiones calculi integralis (1768-1770)
- Vollständige Einleitung zur Algebra (1770)
⇒ Pour avoir toutes ses oeuvres : ⇒
4. Contributions mathématiques liées.
Constante d'Euler : Limite de la suite Un = 1 + 1/2 + 1/3 .... + 1/n - ln(n)
Fonction Gamma d'Euler : Elle fournit un prolongement de la factorielle.
Identités d'Euler : exp(ix ) = cos x + i sin x
Théorème de Descates-Euler
Droite d'Euler dans un triangle
Cercle d'Euler
Indicateur d'Euler : φ(n) est le nombre des entiers naturels non nuls, inférieurs à n et premiers avec n.
Équation différentielle d'Euler : xn. y(n) + a(n-1). xn-1. y(n-1) + ... + a(0).y = 0
5. Symboles mathématiques.
i =√(-1) , e, sin, cos , tan, cot, sec, cosec ,
et il impose le symbole π introduit par l'anglais OUGHTRED William (Eton 1574 - Albury 1660).
6. Références .
[HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
[Dieudo] : Jean DIEUDONNÉ, Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann Editeurs, Paris, nouvelle édition 1986.