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mathematiques ts
Terminale Spécialité Mathématiques
Les démonstrations au programme

 

 

Les démonstrations de Tle spécialité Maths

Démontrer est une composante fondamentale de l’activité mathématique. Le programme propose quelques démonstrations exemplaires, que les élèves découvrent selon des modalités variées : présentation par le professeur, élaboration par les élèves sous la direction du professeur, devoir à la maison.

Ces 19 démonstrations sont à connaître.

Combinatoire et dénombrement

  1. Démonstration par dénombrement de la relation :
    $$\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}{n}\\{k}\end{pmatrix}}=2^n$$
  2. Démonstrations de la relation de Pascal (par le calcul, par une méthode combinatoire).

Orthogonalité et distances dans l’espace

  1. Le projeté orthogonal d’un point M sur un plan 𝒫 est le point de 𝒫 le plus proche de M.

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

  1. Équation cartésienne du plan normal au vecteur \( \overrightarrow{\displaystyle\mathstrut n\,\,}\) et passant par le point A.

Suites

  1. Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
  2. Limite de \(\left(q^n\right)\), après démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli.
  3. Divergence vers \(+\infty\) d’une suite minorée par une suite divergeant vers \(+\infty\).
  4. Limite en \(+\infty\) et en \(-\infty\) de la fonction exponentielle.

Limites des fonctions

  1. Croissance comparée de \(x \longmapsto x^n\) et \(x \longmapsto e^x\) en \(+\infty\).

Compléments sur la dérivation

  1. Si \(f''\) est positive, alors la courbe représentative de \(f\) est au-dessus de ses tangentes.

Fonction logarithme

  1. Calcul de la fonction dérivée de la fonction logarithme népérien, la dérivabilité étant admise.
  2. Limite en 0 de \(x \longmapsto x\ln x\)

Primitives, équations différentielles

  1. Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
  2. Résolution de l’équation différentielle \(y’=ay\) où \(a\) est un nombre réel.

Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

  1. Expression de la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli.

 

Notions exclues de l'épreuve écrite, mais pas de l'épreuve orale

Calcul intégral

  1. Pour une fonction positive croissante \(f\) sur \([a,b]\), la fonction \(x \longmapsto\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)~\text{dt}\) est une primitive de \(f\) .
  2. Pour toute primitive F de \(f\) , relation \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(t)~\text{dt} = F(b)-F(a)\) .
  3. Intégration par parties.

Sommes de variables aléatoires

  1. Espérance et variance de la loi binomiale.

 

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