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Maths seconde
Terminale S : La Fonction Logarithme Népérien

 

Le chapitre traite des thèmes suivants : La Fonction Logarithme Népérien


604px Logarithme neperien.svg

 

 

Un peu d'histoire

  1. Du produit à la somme.
    Vers la fin du 16e siècle, les mathématiciens à chercher des méthodes de simplifications de calculs qui sont alors extrêmement fastidieux, en astronomie, finance et en navigation. On aimerait trouver un moyen de remplacer les multiplications par des additions, opérations bien plus aisées.

  2. Avec des relations trigonométriques.
    Utilisant les tables trigonométriques, les mathématiciens Paul Wittich (1546—1586) et Christophe Clavius (dans son traité de Astrolabio) établissent des correspondances entre produit et somme, pour des nombres inférieurs à 1 à l'aide de relations trigonométriques.

 $$\sin a\times \cos b = \dfrac{\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}$$

  1. Tables logarithmiques.

    Cette méthode est remplacée quelques années plus tard par les tables logarithmiques.
    Simon Stévin, intendant général de l'armée hollandaise, met au point des tables de calculs d'intérêts composés. Ce travail est poursuivi par Jost Bürgi qui publie en 1620, une table de correspondance entre \(n\) et \(1,0001^n\).
     

  2. Les tables de Nepper.
    Le logarithme est appelé népérien, en hommage au mathématicien écossais John Napier (1550-1617) qui établit les premières tables logarithmiques.
    En 1614, John Napier (ou Neper) publie son traité Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio dans lequel il établit des tables de correspondances (logos = rapport, relation, arithmeticos = nombre) entre deux séries de valeurs possédant la propriété suivante :

"à un produit dans une colonne correspond une somme dans une autre."

Ces tables de correspondances ont été créées initialement pour simplifier les calculs trigonométriques apparaissant dans les calculs astronomiques et seront utilisées quelques années plus tard par l'astronome Johannes Kepler (ou Keppler, 1571-1630)  célèbre pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic et découvert la trajectoire elliptique des planètes.
En 1619, apparaît une œuvre posthume de Neper, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, où il explique comment construire une table de logarithmes.

John NapierJohn Napier (1550-1617)

  1. Le travail de napier est poursuivi et prolongé par le mathématicien anglais Henry Briggs qui publie en 1624 ses tables de logarithmes décimaux (Arithmetica logarithmica) et précise les méthodes d’utilisation des tables pour calculer des sinus, retrouver des angles de tangente...
    Le logarithme décimal est parfois appelé logarithme de Briggs en son honneur. La table de Briggs présente les logarithmes à 14 chiffres des nombres compris entre 1 et 20 000 et entre 90 000 et 100 000. Son travail est complété par Ezechiel de Decker et Adriaan Vlacq qui publient en 1627 une table de logarithmes complète.

  2. La quadrature de l'hyperbole.
    On date en général l'origine des logarithmes népériens en 1647, lorsque le mathématicien jésuite Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) travaille sur la quadrature de l'hyperbole, c'est à dire la recherche de l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = a\) et \(x = 1\).
    Il démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété d'additivité des fonctions logarithmes : \(L(ab) = L(a) + L(b)\) si l'on appelle \(L(a)\) l'aire entre 1 et a, rangeant cette aire dans la famille de fonctions logarithmes. 
    Saint-Vincent ne voit cependant pas de lien avec les logarithmes de Napier, et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'expliquera en 1649.

Gregoire de St Vincent Quadrature Hyperbole

  1. La série de Mercator.
    Le logarithme népérien s'est tout d'abord appelé logarithme hyperbolique, en référence à l'aire sous l'hyperbole qu'il représente.
    L'appelation logarithme naturel apparaît pour la première fois en 1668, dans une note de Nicolaus Mercator sur la série qui porte son nom.

    En 1668, dans Logarithmotecnia, il trouve l'aire de l'hyperbole en développant en série géométrique 1/(1+x) puis, en intégrant terme à terme comme l'anglais WALLIS John (1616-1703), il obtient le développement de la série qui porte son nom mais qui fut obtenue par Sir Isaac Newton (1643 – 1727) en 1665. [Dieudo] p 123

    La série de Mercator est définie par :

    $$ln (1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^4}{4} \cdots$$
    Cette série, exploitée par Newton en 1671, permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent
     
  2. La notion de fonction.
    La notion de fonction, la correspondance entre les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes n’apparaissent que plus tardivement après le travail de Leibniz sur la notion de fonction (1697).

 

T.D. : Travaux Dirigés sur La Fonction Logarithme Népérien


 

Cours sur La Fonction Logarithme Népérien


 

D.S. sur La Fonction Logarithme Népérien


 

 

 

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