EULER LeonhardEULER Leonhard

Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783, Suisse.


1. Leonhard Euler ... Sa vie

Le mathématiciens suisse Leonhard Euler est fils et petit-fils de pasteurs protestants.
A 13 ans il entre à l'université de Bâle où il suit des cours de droit et de philosophie. Il est rapidement remarqué par le mathématicien Jean Bernouilli (1667-1748) qui lui donne des cours particuliers chaque semaine et l'encourage à étudier les mathématiques.
Euler sort diplômé de philosophie à 16 ans et entre dans le département de théologie pour devenir pasteur comme son père. Il poursuit parallèlement à ses études théologiques, ses recherches mathématiques et parvient à en tirer une notoriété certaine.
En 1727, Nicolas et Daniel Bernouilli le cooptent, pour qu'il obtienne une place à l'académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Il en devient professeur de mathématique en 1733 suite au remplacement de Daniel Bernouilli (1700-1782) parti en Russie. Il épouse alors la fille d'un artiste russe dont il a 13 enfants ( il pouvait parait-il rédiger un article mathématique en s'occupant de ses enfants).
Euler perd l'usage de l'oeil droit à la suite d'une fièvre importante.

EULER Leonhard par Brucker

Le souverain Frédéric le Grand (1740-1772) (Frédéric II de Prusse) souhaite réorganiser l'Académie de Berlin et invite Euler à y participer. Le "cyclope mathématique" comme le surnomme Frédéric II de Prusse un peu péjorativement, a bien du mal à se faire à l'ambiance de la Cour.

Euler a 13 enfants dont 8 meurent très jeunes. Quant aux autres, ils devinrent presque tous des mathématiciens respectables.

  • L'ainé, Jean Albert (1734, Saint-Pétersbourg - 1810), partagea plusieurs prix à l'Académie des sciences avec Charles Bossut et Alexis Claude Clairaut, et enseigna la physique à St-Pétersbourg.
  • Charles(1740-1800), remporta également plusieurs prix à l'Académie des sciences et exerça la médecine à Saint-Pétersbourg (il fut médecin de l'empereur).
  • Christophe,(1743,Berlin-1805), se consacra au génie militaire.

Euler devient aveugle en 1771 mais continue à dicter ses textes scientifiques à ses fils ou à son valet grâce à sa mémoire colossale - il peut réciter 9 000 vers de l'Enéide par coeur.
On raconte que se préparant à sa cécité inéluctable, il s'était progressivement habitué à ne plus écrire mais à dicter ses démonstrations. Il publie presque la moitié de son oeuvre pendant ces 17 années de cécité, et certaines ont un succès colossal. L'" Introduction à l'algèbre" par exemple est un modèle de clarté et de rigueur que certain attribue à son handicap.

Il meurt à 76 ans au cours d'une réunion avec des amis (il buvait du thé).

2. Leonhard EULER ... Son apport mathématique


Euler est un des grands, voir pour certains le plus grand mathématicien de tous les temps. Son oeuvre est gigantesque et il aborde avec talent tous les domaines des mathématiques.

La notion de fonction

Il met au premier plan le concept de fonction, défini de façon formelle comme :

« une expression analytique composée d'une manière quelconque d'une quantité variable et de nombres ou de quantités constantes ».

Cette définition reprend celle que BERNOULLI Johann francisé Jean (1667-1748) avait déjà donnée (le terme avait été introduit par LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716)).

 

La fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques

Euler donne dans l'Introductio ( chap. VI à VIII) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : La fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques y sont envisagées ainsi pour la première fois.

  • L'exponentielle \(a^z\) (où \(a>0\) est une constante) est définie par interpolation pour z réel, entre les valeurs rationnelles de z, et le logarithme est défini comme fonction inverse de l'exponentielle ; 

  • La notation e pour ce nombre est due à Euler, qui l'utilisait depuis 1728.

  • Les fonctions circulaires sin et cos sont, pour la première fois, considérées comme des fonctions d'une variable réelle (ou même complexe) et non plus comme des lignes qui dépendent d'un angle ; elles sont liées à l'exponentielle par les célèbres formules d'Euler :

Leonhard Euler ... Calculs sur les série

Dans l'Introductio, il manipule les séries et les produits infinis sans se soucier des problèmes de convergence. Il trouve le développement de sin z en produit infini :

 

Leonhard Euler et le Problème de Bâle

Le problème de Bâle est un problème mathématique relatif à la théorie des nombres, posé pour la première fois par Pietro Mengoli en 1644,et résolue par Leonhard Euler en 1734. Comme le problème avait résisté aux attaques des plus grands mathématiciens de l'époque, la solution d'Euler lui valut une renommée immédiate à vingt-huit ans.

Euler a généralisé le problème et ses idées furent reprises des années plus tard par le mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826-1866) qui, dans un article de 1859 définit sa fonction zeta et  prouve ses propriétés fondamentales. Le problème est nommé ainsi en l'honneur de Bâle, la ville natale d'Euler et de la famille Bernoulli.

Le problème demande la valeur exacte de la somme de la série convergente :

$$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots$$

Celle-ci est approximativement égale à 1,644 934 066 848 226 43.

En 1735, Euler annonce avoir démontré que cette somme était égale à \(\dfrac{\pi^2}{6}\). Ses arguments étaient alors peu rigoureux et ce n'est qu'en 1741 qu'il sera capable de produire une preuve complète et inattaquable !

$$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\dfrac{\pi^2}{6}$$

 

Leonhard Euler et les Equations différentielles

Dans Institutiones calculi differentialis (1755), il propose une véritable synthèse de toutes les méthodes de résolution des équations différentielles linéaires (solution de l'équation homogène, solution particulière..).
Il donne la méthode de résolution de l'équation qui porte son nom par le changement de variable \(x = exp(t)\) et de l'équation de RICCATI.

 

Leonhard Euler et les Quadriques

Il classe les surfaces en fonction du degré de leur équation et il introduit les quadriques, analogue des coniques en dimension 2.

 

L'identité d'Euler

\[ \Large \text{e}^{i \pi}+1=0 \]

Le mathématicien suisse Leonhard EULER (1707-1783)  fait apparaître cette formule dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748.

 

Le théorème de raréfaction d'Euler

La somme des inverses des nombres premiers tend vers l'infini, (on dit qu'elle diverge) ce que l'on peut noter : 

$$\sum_{p\,\in\, P} \left( \dfrac{1}{p}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}+\cdots ~~\text{diverge}$$

Le mathématicien suisse Euler (1707-1783) démontre ce théorème en 1737.

 

Leonhard Euler et Les fractions continues (ou continuées) 

Elles sont étudiées tout d'abord par BROUNCKER William (1620-1684) qui correspond avec WALLIS John (1616-1703, Angleterre) dès 1655.  Leonhard Euler calcule le premier développement en fraction continue généralisée d'une fonction. Par exemple on peut montrer que :

$$\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\cdots}}}}}}$$

 

Leonhard Euler et les intégrales doubles

Les intégrales doubles apparaissent à la fin du 17ème siècle chez BERNOULLI Johann francisé Jean (1667-1748) et l'allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716), mais la théorie générale est développée dans un mémoire du suisse EULER Leonhard (1707 - 1783) de 1789. Il donne la formule du changement de variables (lorsque l'orientation est conservée) et l'applique pour calculer des volumes et des aires de surfaces courbes. [Dieudo] p 25

EULER Leonhard par-Emanuel Handmann

Leonhard Euler ... Oeuvres principales.


Euler est l'auteur de trois grands traités sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l'Introductio in analysin infinitorum (1748), lesInstitutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770).
Le premier livre de l'Introductio est consacré au calcul « algébrique » sur les fonctions, au second livre, il applique les méthodes et les résultats du premier livre à des problèmes de géométrie (étude des courbes algébriques ou transcendantes, surfaces, changements d'axes de coordonnées).

  • De fractionibus continuis (1737)
  • Introductio in analysis infinitorum (1748)
  • Institutiones calculi differentialis (1755)
  • Institutiones calculi integralis (1768-1770)
  • Vollständige Einleitung zur Algebra (1770)

⇒ Pour avoir toutes ses oeuvres : ⇒

4. Contributions mathématiques liées de Leonhard Euler


  • Constante d'Euler : Limite de la suite \(U_n\) définie par :

$$U_n = 1 + \dfrac12 + \dfrac13 +\cdots + \dfrac1n - \text{ln}(n)$$

  • Fonction Gamma d'Euler : Elle fournit un prolongement de la factorielle. 
  • Identités d'Euler :

$$\text{exp}(ix )=\text{e}^{\text{i}x} =\text{cos} ~x + \text{i} ~\text{sin} ~x $$

  • Théorème de Descartes-Euler
  • Droite d'Euler dans un triangle
  • Cercle d'Euler
  • Indicateur d'Euler : φ(n) est le nombre des entiers naturels non nuls, inférieurs à n et premiers avec n. 
  • Équation différentielle d'Euler : xn. y(n) + a(n-1). xn-1. y(n-1) + ... + a(0).y = 0

5. Symboles mathématiques introduits par Leonhard Euler


\(i =\sqrt{-1}\) , e, sin, cos , tan, cot, sec, cosec , 


Il impose le symbole π introduit par l'anglais OUGHTRED William (Eton 1574 - Albury 1660).

 


Références 

  • [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
  •  [Dieudo] : Jean DIEUDONNÉ, Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann Editeurs, Paris, nouvelle édition 1986.

 

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