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Le produit scalaire.


Approche historique.

  • Histoire.  [Gour2] p 94 et [Audi]p159 p 163 et [EU]

    Le mathématicien irlandais HAMILTON William Rowan (1805-1865) découvre en 1843, le premier corps non commutatif, le corps des quaternions.

    Il introduit alors le germe du produit scalaire. Le mathématicien américain GIBBS Josiah Willard ( New Haven 1839 - 1903) simplifie cet outil et définit le produit scalaire et le produit vectoriel dans une théorie appelée l'analyse vectoriel.

    Parallèlement à l'américain GIBBS, le mathématicien anglais HEAVISIDE Oliver (1850-1925) introduit l'analyse vectorielle. Trouvant malcommode l'utilisation des quaternions en physique, il sépare du produit de 2 quaternions purs, la partie réelle et la partie vectorielle. Cela donnera au signe près le produit scalaire et le produit vectoriel.

    Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) le définit ensuite associé à un calcul d'aire ou de déterminant. Roberto Marcolongo et Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus d'un angle et lui donne le nom de produit intérieur ou produit scalaire. 

    GIBBS utilise le premier le point pour le produit scalaire et × pour le produit de vecteurs en 1902 dans Vector Analysis. (⇒ symboles)

    JORDAN Camille Marie Ennemond (1838-1922), mathématicien français définit le produit scalaire à l'aide d'une forme bilinéaire symétrique définie positive. [HaSu] p185

    Le mathématicien allemand HILBERT David (1862-1943) généralise au début du 20ème siècle la notion de produit scalaire à des espaces de suites. [HaSu] p171

Cours : le produit scalaire

  1. Produit scalaire dans l'espace.
  2. Produit scalaire dans E, un IR espace vectoriel.
  3. Produit scalaire dans E un ℂ espace vectoriel.
  4. Propriétés.
  5. Propriétés différentielles et de continuité.

 1 - Produit scalaire dans l’espace IR3

ps

ps  

 ps

2 - Produit scalaire dans E, un ℝ espace vectoriel.


On appelle produit scalaire sur E toute application φ : E² → IR telle que : pour tout vecteurs x, y et y’ de E et k un réel.



ps

 

On dit qu’un produit scalaire sur un ℝ-ev est une forme bilinéaire, symétrique et définie positive.

ps
ps
ps

3 - Produit scalaire dans E un ℂ espace vectoriel.


On appelle  produit scalaire sur E une  application φ : E² → C ayant les même propriétés que sur IR sauf la première a) qui devient : 


ps

 

Attention, dans ce cas φ n’est pas linéaire par rapport à la 1ère place, elle est dite semi-linéaire par rapport à la 1ère place car on a :

    ps

4 – Propriétés.


4.a :   Un espace préhilbertien réel (resp. complexe) est défini par le couple (E,φ).

Un espace euclidien (resp. hermitien) est un espace préhilbertien réel (resp. complexe) de dimension finie.

4.a : L'inégalité de CAUCHY-SCHWARZ (voir compléments sur cette inégalité)

Soit (E, φ) un espace préhilbertien, pour tout (x;y) de E² ; on a : 

inégalité de Cauchy-Scwarz

Que l'on peut aussi écrire : 

 l
Avec égalité ssi les deux vecteurs sont liés (ou colinéaires).

 

4.c : L'inégalité de MINKOWSKI (voir compléments sur cette inégalité) 

Soit (E, φ) un espace préhilbertien, Φ la forme quadratique associée au produit scalaire φ; on a :

minkowski1

Que l'on peut écrire aussi :

minkowski

  • Cas d’égalité : [Ladeg]p92

mink1

ssi l’un des deux vecteurs est nul ou si ils sont colinéaires de sens opposé.

m11

ssi l’un des deux vecteurs est nul ou si ils sont colinéaires de même sens.

 

5 - Propriétés différentielles et de continuité.


5.a : Continuité des applications multilinéaires en dimension finie.

  • Théorème. [Monier2p68]

    Soit pour k entier, Ek et F des IK-ev. 
    Si les Ek sont de dimensions finies, alors toute application multilinéaire de ∏Ek dans F est continue.

  • Conséquences : Pour E de dimension finie.

Pour y fixé, l’application de E → IK qui :             x → < x , y > est continue (car linéaire).

Pour y fixé, l’application de E → E qui :               x → pv est continue (car lineaire).

Les applications normes, produit scalaire, produit mixte et produit vectoriel sont continues.

 

5.b : Dérivée et différentielle.Fonctions bilinéaires : [SoroAn]p354

  • f bilinéaire de IRp × IRn dans F  ⇒ f est différentiable et

 pv Conséquences 

  • Le produit scalaire et le produit vectoriel sont différentiables et : 

pv