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Nombres premiers : Un nouveau record à 22 millions de Chiffres !
Le 7 Janvier 2016


Début Janvier 2016, le mathématicien américain Curtis Cooper, chercheur de l'université du Missouri, vient de trouver pour la 4e fois depuis 2005 le plus grand nombre premier, (c'est à dire un entier naturel ayant exactement deux diviseurs positifs distincts, 1 et lui même).

Ce nombre premier possède 22.338.618 chiffres, alors que le précédent n'en possédait que "17" millions (et celui d'avant, 12).
Pour l'anecdote, une page en police 12 Time New roman contient 4 067 caractères (avec les marges par défaut), il faudrait donc autour de 5 493 pages pour écrire le nombre en entier.

Ce nombre gigantesque est encore un entier dit de Mersenne, du nom du père Marin Mersenne, ecclésiastique et mathématicien du 17e siècle. Il s'écrit sous la forme (Mn = 2n-1) avec n égale à 74.207.281.
Soit le chiffre 2 multiplié 74.207.281 fois par lui-même le tout moins un.

$$M_{74.207.281}=2^{74.207.281}-1$$

Une utilisation des nombres premiers

Les nombres premiers sont étudiés depuis l'antiquité (voir l'article nombres premiers, toute une histoire) et sont utilisés aujourd'hui dans la plupart des systèmes de cryptographie (internet, bancaire, militaires). La recherche sur leurs propriétés est de fait encore très active, et très encadrée.

La plupart des systèmes de cryptographie actuels fonctionnent sur le fait qu'il est très long et difficile de trouver la décomposition d'un entier en nombres premiers surtout si il est très grand (de l'ordre de plusieurs centaines de chiffres).
Savoir que 15 se décompose en 3 fois 5 est simple, mais si on vous donne un nombre de 1 000 chiffres, c'est une autre histoire.
Notons toutefois que ces nombres premiers titanesques (de plusieurs millions de chiffres) ne sont pas utilisés pour créer des clés publiques en cryptographie en raison de leur rareté. Un hacker voyant une clé à plusieurs millions de chiffres n'aurait pas tant de candidats à tester.

Great Internet Mersenne Prime Search, ou GIMPS

Le Great Internet Mersenne Prime Search, ou GIMPS, est un projet de calcul partagé où les volontaires utilisent un logiciel client pour chercher les nombres premiers de Mersenne. Cela permet en fait d'utiliser la puissance de calcul de milliers d'ordinateurs simultanément. Le projet a été fondé par George Woltman, qui est aussi le créateur du logiciel de calcul distribué employé. L'algorithme utilisé est le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne.
Ce projet a permis de trouver les quinze plus grands nombres premiers de Mersenne connus.

L'Electronic Frontier Foundation offre des prix de calcul coopératif pour encourager les internautes à contribuer à la résolution de problèmes scientifiques par le calcul distribué. Le GIMPS a ainsi reçu 100 000 dollars pour sa découverte en 2008 du premier nombre premier d'au moins 10 millions de chiffres décimaux. L'EFF offre encore 150 000 et 250 000 dollars respectivement pour la découverte du premier nombre premier de 100 millions et 1 milliard de chiffres décimaux.

 


 

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