Nombres Escaliers, Polis ou Trapézoïdaux

Définition d'un Nombres Escalier, Poli ou Trapézoïdal

Un nombre poli ou escalier ou trapézoïdal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme de une ou plusieurs sommes de deux ou plusieurs nombres consécutifs.

Le degré de politesse indique combine de fois un nombre est sommes de nombres consécutifs.

Exemples de ces nombres Escaliers, Polis ou Trapézoïdaux

Le nombre 15 est un nombre 3-polis, c'est à dire qu'il peut se décomposer en somme d'entiers consécutifs 3 fois :

$$15 = 1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8$$

Par exemple, l'année 2024 est un nombre de 3-poli (voir les propriété du nombre 2024).

Quelques propriétés des nombres Escaliers, Polis ou Trapézoïdaux

Propriété 1

Tous les nombres peuvent se mettent sous la forme de somme de consécutifs sauf les puissances de 2.

Propriété 2

Les nombres polis dont la somme commence par 1 sont les nombres triangulaires.

Tous les nombres polis sont différences de deux nombres triangulaires :

l'un qui va de 1 jusqu'au dernier nombre de la somme;

et l'autre qui efface les nombres de 1 jusqu'au nombre avant celui qui commence la somme.

Par exemple :

$$15 = 4+5+6 = \underbrace{(1+2+3+4+5+6)}_{21} - \underbrace{(1+2+3)}_{6}$$

Propriété 3

On peut se demander pour un entier $N$ donné, combien de décompositions on peut obtenir en somme de $k$ entiers consécutifs.

La quantité de $k$-sommes d'un nombre $N$ est égale à son nombre de diviseurs impairs moins 1.

Par exemple :

L'entier $n=15$ compte 4 diviseurs impairs qui sont : $$1, 3, 5, 15$$

C'est bien un entier 3-poli comme nous l'avons vu.

Propriété 4

Pour chercher les différentes décompositions, il faut résoudre plusieurs équation dans l'ensemble des entiers naturels.

Soit $N$ un entier, en prenant un entier $n$ comme élément central, on calcule la somme de $k$ nombres consécutifs autour de lui.

On a alors :

Pour $k=2$ entiers consécutifs, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$n+(n+1) = 2n+1 = N$$

Pour $k=3$ entiers consécutifs, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$(n-1)+n+(n+1) = 3n = N$$

Pour $k=4$ entiers consécutifs, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$(n-1)+n+(n+1)+(n+2) = 4n +2= N$$

Pour $k=5$ entiers consécutifs, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2) = 5n= N$$

etc ...

Cas où $k$ pair, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$kn + k/2= N$$

Cas où $k$ impair, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$kn= N$$

Par exemple :

L'entier $N=15$ est 3-poli et on va retrouver les 3 décompositions :

Pour $k=2$ entiers consécutifs, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$n+(n+1) = 2n+1 = 15\Longleftrightarrow n = 7 \Longrightarrow 15=7+8$$

Pour $k=3$ entiers consécutifs, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$(n-1)+n+(n+1) = 3n = 15 \Longleftrightarrow n = 5 \Longrightarrow 15=4+5+6$$

Pour $k=4$ entiers consécutifs, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$(n-1)+n+(n+1)+(n+2) = 4n +2= 15 \Longleftrightarrow n = \dfrac{13}{4} \notin IN$$

Pour $k=5$ entiers consécutifs, il faut résoudre l'équation pour $n$ entier : $$(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2) = 5n= 15 \Longleftrightarrow n = 3 \Longrightarrow 15=1+2+3+4+5$$

On s'arrête !

Propriété 5

Si un nombre $N$ est divisible par $k$ impair, il est somme de $k$ nombres consécutifs.
(Dans certains cas, les termes peuvent être négatifs)

Par exemple :

$$\begin{align*}
15&=3\times 5 \\&= 5+5+5 \\&= (5-1) + 5 + (5+1) \\15&= 4+5+6\\&\\
15&=3\times 5 \\&= 3+3+3+3+3 \\&= (3-2)+(3-1) + 3 + (3+1)+(3+2) \\15&= 1+2+3+4+5
\end{align*}$$

Quelques records

L'entier 945 est 15-poli.
L'entier 1575 est 17-poli.
L'entier 2835 est 19-poli.
L'entier 3465 est 23-poli.