Conjecture de Erdős–Straus

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Conjecture de Erdos–Straus ou Erdős–Straus

En théorie des nombres, la conjecture de Erdős–Straus (ou Erdos–Straus) suppose que pour tout entier n ≥ 2, le nombre rationnel 4 / n peut être exprimé comme la somme de trois fractions unitaires. 

Cela permet donc de décomposer 4/n en fractions égyptiennes, et ce, avec le moins de fractions (distinctes) possibles.

Paul Erdös et Ernst G. Straus ont formulé la conjecture en 1948. C'est l'une des nombreuses conjectures émises par Erdős.

Plus formellement, cette conjecture affirme que, pour tout entier n ≥ 2, il existe des entiers positifs a, b et c tels que : 

 conjecture erdos

 

  • Par exemple, pour n = 5, il ya deux solutions :

conjecture erdos 4sur5

Les recherches actuelles

Le professeur Allan SWETT, de l'université d'Indianapolis (USA), indique que la conjoncture de Erdos-Strauss, nommée ESC(n), est vraie pour tous les entiers n de 1 à 1014. Soit pour 100 000 milliards d'entiers !
Évidemment, cela n'est pas suffisant pour prouver qu'elle est vraie pour tous les entiers n, la démonstration résiste encore, à ce jour, à tous les mathématiciens.

Généralisation

L'idée générale, revient à : 

  1. Décomposer une fraction quelconque k/n en somme de fractions unitaires, c'est à dire de l'écrire en fractions égyptiennes.
    Evidemment, cela est toujours possible (cf. les fractions égyptiennes)

  2. Trouver le nombre minimal de fractions unitaires utiles à la décomposition. 

Une version généralisée de cette conjecture énonce donc que, pour tout k positif il existe un nombre N tel que, pour tout n ≥ N, il existe une solution en entiers positifs.

conjecture k sur n

 

  • La version de cette conjecture pour k = 5 a été établie par Waclaw Sierpinski, c'est la conjecture de Sierpinski, et la conjecture complète est due à Andrzej Schinzel.

Les résultats prouvés.

  • En 1962, le mathématicien américain Solomon W. Golomb démontre que :
    Toute fraction irréductible k/n peut se décomposer en une somme d'au plus k fractions unitaires distinctes. [Ref]

    Le terme distinctes est essentiel, car sinon la décomposition k/n = 1/n+...+1/n, avec k termes est évidente.

  • Pour k=2, n sera impair (car la fraction est irréductible), et on pose alors n = pq avec :
    • p et q deux entiers différents,
    • p = 1 si n est premier,
    • p = 1 si n est un carré parfait,
    • par parité de n, on a p et q forcément impairs.

      et on applique la décomposition suivante :

 2 sur n formule


Par exemple : 

2 sur n formule ex

  • Le résultat pour k = 3, donc pour les fractions de la forme 3 / n, est qu'il existe une décomposition à deux termes, si et seulement si n a un facteur congru à 2 mod 3, c'est à dire de la forme 2 + 3k. Klee et Wagon [KW91] attribuent ce résultat N. Nakayama, mais ils ne fournissent aucune source.
    Dans le cas contraire, le théorème de Solomon W. Golomb prouve qu'il y a une décomposition en au plus k = 3 fractions unitaires disctinctes.

    On obtient par exemple : 
      • 3/25=1/10+1/50.
        On a 25 = 5² et 5 = 2 mod 3

      • 3/55=1/22+1/110=1/20+1/220.
        On a 55 = 5×11 et 5 = 2 + 3×1 , 11 = 2 + 3×3

      • 3/121=1/44+1/484.
        On a 121 = 11² et 11 = 2 + 3×3

Une preuve de ce théorème est disponible sur le site : http://www.ics.uci.edu

Sources.