Conjecture de Sierpiński
En théorie des nombres, la conjecture de Sierpiński suppose que pour tout entier n ≥ 2, le nombre rationnel 5 / n peut être exprimée comme la somme de trois fractions unitaires.
Le mathématicien Wacław Sierpiński a formulé cette conjecture en 1956.
Plus formellement, cette conjecture affirme que, pour tout entier n ≥ 2, il existe des entiers positifs a, b et c tels que :
Cela permet de décomposer 5/n en fractions égyptiennes.
- Par exemple, pour n = 9 :
- Par exemple, pour n = 13 :
Généralisation.
Une version généralisée de cette conjecture suppose que, pour tout k positif il existe un nombre N tel que, pour tout n ≥ N, il existe une solution en entiers positifs k / n = 1 / a + 1 / b + 1 / c .
La version de cette conjecture pour k = 4 a été établie par Erdős–Straus, et la conjecture complète est due à Andrzej Schinzel.