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Les Mathématiques en TES/L

Terminale Spécialité Maths
Les Suites

Ce chapitre traite principalement des suites (limites, variations) et du raisonnement par récurrence.

 

La notion de preuve par récurrence

C'est au mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français Blaise Pascal(1623-1662) dans son Traité du triangle arithmétique  écrit en 1654 mais publié en 1665, que l'on attribue la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence.

Certains historiens des sciences voient aussi dans des formes moins abouties ce principe de récurrence dans les travaux du mathématicien indien Bhāskara II (1114-1185), dans la démonstration d'Euclide (v. -300) de l'existence d'une infinité de nombres premiers ou dans des travaux des mathématiciens perses Al-Karaji (953-1029) ou Ibn al-Haytham(953-1039).

 

1. T.D. : Travaux Dirigés sur les suites et la récurrence en TS


 

2. Le Cours sur les suites et la récurrence en TS


 

3. Devoirs

 

4. Compléments

Le Bac

 

Un peu d'histoire des mathématiques

  • La notion de preuve par récurrence

C'est au mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français Blaise Pascal(1623-1662) dans son Traité du triangle arithmétique  écrit en 1654 mais publié en 1665, que l'on attribue la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence.

Certains historiens des sciences voient aussi dans des formes moins abouties ce principe de récurrence dans les travaux du mathématicien indien Bhāskara II (1114-1185), dans la démonstration d'Euclide (v. -300) de l'existence d'une infinité de nombres premiers ou dans des travaux des mathématiciens perses Al-Karaji (953-1029) ou Ibn al-Haytham(953-1039).

  • La Formule de Leibniz (1646-1716) 
    Cette formule célèbre permet d'obtenir une approximation du nombre \(\pi\). Elle fut découverte en Occident au 17e mais apparaît déjà chez le mathématicien indien Madhava vers 1400.

$$\pi=4\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{2k+1}=4\left( 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}+ \cdots \right) $$

Cette série converge si lentement que près de 200 termes sont nécessaires pour calculer \(\pi\) avec deux décimales exactes

  • Le problème de Bâle

    En mathématiques, le problème de Bâle (ou problème de Mengoli) est un problème qui consiste à demander la valeur de la somme de la série  :

$$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+ \cdots =\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2}$$

  • Le problème a été résolu par le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783)  qui parvient à démontrer que cette somme tend vers \(\dfrac{\pi^2}{6}\).
    Il en donna la première démonstration rigoureuse en 1741 mais annonce en 1735 la découverte de la somme exacte..

  • Une convergence très lente
    Pour obtenir 4 décimales exactes, il faut additionner plus de 15 000 termes de la somme. Avec 1000 termes, on n'obtient que 2 décimales et la fraction irréductible comporte déjà plus de 800 chiffres.
    Cela reste rêveur quand on pense qu'Euler a calculé 20 décimales exactes. Il utilise en fait des méthodes d'accélération de convergence.

$$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+ \cdots =\dfrac{\pi^2}{6}$$


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