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mathematiques ts
Terminale Spécialité Mathématiques
Les démonstrations au programme

 

  • Manuel utilisé au lycée V. Duruy : Bordas - Collection Indice - Référence : 9782047337646.
  • Le programme de terminale : https://eduscol.education.fr.

 

Les démonstrations de Tle spécialité Maths

Démontrer est une composante fondamentale de l’activité mathématique. Le programme propose quelques démonstrations exemplaires, que les élèves découvrent selon des modalités variées : présentation par le professeur, élaboration par les élèves sous la direction du professeur, devoir à la maison.

Ces 19 démonstrations sont à connaître.

Combinatoire et dénombrement

  1. Démonstration par dénombrement de la relation :
    $$\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}{n}\\{k}\end{pmatrix}}=2^n$$
  2. Démonstrations de la relation de Pascal (par le calcul, par une méthode combinatoire).

Orthogonalité et distances dans l’espace

  1. Le projeté orthogonal d’un point M sur un plan 𝒫 est le point de 𝒫 le plus proche de M.

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

  1. Équation cartésienne du plan normal au vecteur \( \overrightarrow{\displaystyle\mathstrut n\,\,}\) et passant par le point A.

Suites

  1. Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
  2. Limite de \(\left(q^n\right)\), après démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli.
  3. Divergence vers \(+\infty\) d’une suite minorée par une suite divergeant vers \(+\infty\).
  4. Limite en \(+\infty\) et en \(-\infty\) de la fonction exponentielle.

Limites des fonctions

  1. Croissance comparée de \(x \longmapsto x^n\) et \(x \longmapsto e^x\) en \(+\infty\).

Compléments sur la dérivation

  1. Si \(f''\) est positive, alors la courbe représentative de \(f\) est au-dessus de ses tangentes.

Fonction logarithme

  1. Calcul de la fonction dérivée de la fonction logarithme népérien, la dérivabilité étant admise.
  2. Limite en 0 de \(x \longmapsto x\ln x\)

Primitives, équations différentielles

  1. Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
  2. Résolution de l’équation différentielle \(y’=ay\) où \(a\) est un nombre réel.

Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

  1. Expression de la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli.

 

Notions exclues de l'épreuve écrite, mais pas de l'épreuve orale

Calcul intégral

  1. Pour une fonction positive croissante \(f\) sur \([a,b]\), la fonction \(x \longmapsto\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)~\text{dt}\) est une primitive de \(f\) .
  2. Pour toute primitive F de \(f\) , relation \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(t)~\text{dt} = F(b)-F(a)\) .
  3. Intégration par parties.

Sommes de variables aléatoires

  1. Espérance et variance de la loi binomiale.

 

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