Une Histoire des Mathématiques

Terminale : Lois de probabilité à densité

Maths secondeClasse de Terminale

Lois de probabilité à densité

Terminale : Intégration

Maths secondeTerminale Spécialité Maths : Intégration

 

Le chapitre traite des thèmes suivants : intégration

 Intégrale sur l'intervalle [a ; b]

 

Un peu d'histoire de l'intégration

Archimède, le père fondateur !
L'intégration prend naissance dans les problèmes d'ordre géométrique que se posaient les Grecs : calculs d'aires (ou quadratures), de volumes, de longueurs (rectifications), de centres de gravité, de moments. Les deux pères de l'intégration sont Eudoxe de Cnide (- 408 ; - 355) et le légendaire savant sicilien, Archimède de Syracuse (-287 ; -212).

Archimède de Syracuse (-287 ; -212)Archimède (-287 , -212)

On attribue à Eudoxe, repris par Euclide, la détermination des volumes du cône et de la pyramide. Le travail d'Archimède est bien plus important : citons, entre autres, la détermination du centre de gravité d'une surface triangulaire, le rapport entre aire et périmètre du cercle, le volume et l'aire de la sphère, le volume de la calotte sphérique, l'aire du « segment » de parabole, délimité par celle-ci et une de ses cordes.

Les européens
Les mathématiciens Européens du17e siècle vont partir de l'oeuvre d'Archimède. Ils vont utiliser conjointement les méthodes rigoureuses et apagogiques (par l'absurde) d'Archimède, et, les indivisibles. Par l'une ou l'autre de ces méthodes, Cavalieri (1598-1647), Torricelli (1608-1647), Roberval (1602-1675), Fermat (1601-1665) réalisent de nombreuses quadratures, en particulier celle de l'aire sous la courbe d'équation ci-dessous jusqu'à l'abscisse a.

$$y = x^n ~~;~~n \in \mathbb{N}$$

Le savant français Blaise Pascal (1623-1662) prolonge les calculs et fournit quelques avancées manifestes.

Newton et Leibniz
Le calcul infinitésimal va alors se développer sous l'influence des deux mathématiciens et physiciens, l'anglais Newton (1643-1727) et allemand Leibniz (1646-1716). Indépendamment l'un de l'autre, inventent des procédés algorithmiques ce qui tend à faire de l'analyse dite infinitésimale, une branche autonome des mathématiques. Newton publie en 1736 sa méthode la plus célèbre, la méthode des fluxionse et des suites infinies.

Les notations mathématiques liées à l'intégration

  • La première notation de Leibniz pour l'intégrale fut d'abord omn. (omnes = tout), puis rapidement, celle qu'il nous a léguée, S, initiale de Somme, qu'il utilise conjointement au fameux « dx », souvent considéré comme un infiniment petit.
  • Le mot « intégrale » est dû à son disciple Jean Bernoulli (lettre à Leibniz du 12. 2. 1695).
  • La notation \(\displaystyle \int_{a}^{x}\)  est due à Fourier (1768-1830).

Le Théorème fondamentale

  • Théorème (simplifié) : Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) alors la fonction \(F\) définie ci-dessous est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est \(f\). Pour \(a\) et \(x\) de \(I\) :

$$F(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)~\text{dt} \Longrightarrow F'(x)=f(x)$$

Le premier énoncé (et sa démonstration) d'une forme partielle du théorème fut publié par James Gregory en 1668. Isaac Barrow en démontra une forme plus générale, mais c'est Isaac Newton (élève de Barrow) qui acheva de développer la théorie mathématique englobant le théorème. Gottfried Leibniz systématisa ces résultats sous forme d'un calcul des infinitésimaux, et introduisit les notations toujours actuellement utilisées.

Vers une définition rigoureuse
L'intégrale telle que nous la concevons aujourd'hui (au lycée) est celle dite de Riemann, du nom du mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826-1866), qui énonce une définition rigoureuse dans un ouvrage de 1854, mais qui sera publié à titre posthume en 1867.
L'intégrale de Lebesgue (Henri Lebesgue, 1902) est elle abordée en post-bac et permet de généraliser le concept d'intégrale de Riemann.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)Bernhard Riemann (1826-1866)

 

T.D. : Travaux Dirigés sur l'Intégration

 

Cours sur l'intégration

{youtube}https://youtu.be/pFKzXZrMVxs {/youtube}

 

D.S. sur l'intégration

 

 

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Articles Connexes 

Terminale : La Fonction Logarithme Népérien

Maths seconde
Terminale Spécialité Maths
La Fonction Logarithme Népérien

 

Le chapitre traite des thèmes suivants : La Fonction Logarithme Népérien

604px Logarithme neperien.svg

 

 

Un peu d'histoire

  1. Du produit à la somme.
    Vers la fin du 16e siècle, les mathématiciens à chercher des méthodes de simplifications de calculs qui sont alors extrêmement fastidieux, en astronomie, finance et en navigation. On aimerait trouver un moyen de remplacer les multiplications par des additions, opérations bien plus aisées.

  2. Avec des relations trigonométriques.
    Utilisant les tables trigonométriques, les mathématiciens Paul Wittich (1546—1586) et Christophe Clavius (dans son traité de Astrolabio) établissent des correspondances entre produit et somme, pour des nombres inférieurs à 1 à l'aide de relations trigonométriques.

 $$\sin a\times \cos b = \dfrac{\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}$$

  1. Tables logarithmiques.

    Cette méthode est remplacée quelques années plus tard par les tables logarithmiques.
    Simon Stévin, intendant général de l'armée hollandaise, met au point des tables de calculs d'intérêts composés. Ce travail est poursuivi par Jost Bürgi qui publie en 1620, une table de correspondance entre \(n\) et \(1,0001^n\).
     

  2. Les tables de Nepper.
    Le logarithme est appelé népérien, en hommage au mathématicien écossais John Napier (1550-1617) qui établit les premières tables logarithmiques.
    En 1614, John Napier (ou Neper) publie son traité Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio dans lequel il établit des tables de correspondances (logos = rapport, relation, arithmeticos = nombre) entre deux séries de valeurs possédant la propriété suivante :

"à un produit dans une colonne correspond une somme dans une autre."

Ces tables de correspondances ont été créées initialement pour simplifier les calculs trigonométriques apparaissant dans les calculs astronomiques et seront utilisées quelques années plus tard par l'astronome Johannes Kepler (ou Keppler, 1571-1630)  célèbre pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic et découvert la trajectoire elliptique des planètes.
En 1619, apparaît une œuvre posthume de Neper, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, où il explique comment construire une table de logarithmes.

John NapierJohn Napier (1550-1617)

  1. Le travail de napier est poursuivi et prolongé par le mathématicien anglais Henry Briggs qui publie en 1624 ses tables de logarithmes décimaux (Arithmetica logarithmica) et précise les méthodes d’utilisation des tables pour calculer des sinus, retrouver des angles de tangente...
    Le logarithme décimal est parfois appelé logarithme de Briggs en son honneur. La table de Briggs présente les logarithmes à 14 chiffres des nombres compris entre 1 et 20 000 et entre 90 000 et 100 000. Son travail est complété par Ezechiel de Decker et Adriaan Vlacq qui publient en 1627 une table de logarithmes complète.

  2. La quadrature de l'hyperbole.
    On date en général l'origine des logarithmes népériens en 1647, lorsque le mathématicien jésuite Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) travaille sur la quadrature de l'hyperbole, c'est à dire la recherche de l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = a\) et \(x = 1\).
    Il démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété d'additivité des fonctions logarithmes : \(L(ab) = L(a) + L(b)\) si l'on appelle \(L(a)\) l'aire entre 1 et a, rangeant cette aire dans la famille de fonctions logarithmes. 
    Saint-Vincent ne voit cependant pas de lien avec les logarithmes de Napier, et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'expliquera en 1649.

Gregoire de St Vincent Quadrature Hyperbole

  1. La série de Mercator.
    Le logarithme népérien s'est tout d'abord appelé logarithme hyperbolique, en référence à l'aire sous l'hyperbole qu'il représente.
    L'appelation logarithme naturel apparaît pour la première fois en 1668, dans une note de Nicolaus Mercator sur la série qui porte son nom.

    En 1668, dans Logarithmotecnia, il trouve l'aire de l'hyperbole en développant en série géométrique 1/(1+x) puis, en intégrant terme à terme comme l'anglais WALLIS John (1616-1703), il obtient le développement de la série qui porte son nom mais qui fut obtenue par Sir Isaac Newton (1643 – 1727) en 1665. [Dieudo] p 123

    La série de Mercator est définie par :

    $$ln (1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^4}{4} \cdots$$
    Cette série, exploitée par Newton en 1671, permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent. 
     
  2. La notion de fonction.
    La notion de fonction, la correspondance entre les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes n’apparaissent que plus tardivement après le travail de Leibniz sur la notion de fonction (1697).

 

T.D. : Travaux Dirigés sur La Fonction Logarithme Népérien

 

Cours sur La Fonction Logarithme Népérien

 

D.S. sur La Fonction Logarithme Népérien

 

 

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Articles Connexes 

Terminale S : La Fonction Exponentielle

Maths seconde
Terminale S : La Fonction Exponentielle

 

Le chapitre traite des thèmes suivants : fonction exponentielle

fonction expo

 

Un peu d'histoire

La naissance de la fonction exponentielle se produit à la fin du XVIIe siècle. L'idée de combler les trous entre plusieurs puissances d'un même nombre est très ancienne. Ainsi trouve-t-on dans les mathématiques babyloniennes un problème d'intérêts composés où il est question du temps pour doubler un capital placé à 20 %.

Puis le mathématicien français Nicolas Oresme (1320-1382) dans son De proportionibus (vers 1360) introduit des puissances fractionnaires. Nicolas Chuquet, dans son Triparty (1484), cherche des valeurs intermédiaires dans des suites géométriques en utilisant des racines carrées et des racines cubiques et Michael Stifel, dans son Arithmetica integra (1544) met en place les règles algébriques sur les exposants entiers, négatifs et même fractionnaires.

Il faut attendre 1694 et le mathématicien français Jean Bernouilli (1667-1748) pour une introduction des fonctions exponentielles, cela dans une correspondance avec le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Le mot «exponentielle» quant à lui apparaît pour la première fois dans la réponse de Leibniz.

Euler
C'est le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) utilisa pour la première fois la notation e.

EULER Leonhard par Emanuel Handmann

La première apparition de la lettre « e » pour désigner la base du logarithme népérien date de 1728, dans un manuscrit d'Euler qui le définit comme le nombre dont le logarithme est l'unité et qui se sert des tables de Vlacq pour l'évaluer à 2,7182817. Il fait part de cette notation à Goldbach dans un courrier en 1731. Le choix de la lettre est parfois interprété comme un hommage au nom d'Euler lui-même ou l'initiale de « exponentielle ».

 

T.D. : Travaux Dirigés sur la fonction Exponentielle

 

Cours sur la fonction Exponentielle

 

D.S. sur la fonction Exponentielle

 

 

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Articles Connexes 

Bac S : Exercices de maths classés par thèmes


mathematiques tsClasse de terminale S

Exercices du bac S classés par thèmes.

Terminale Spécialité Maths : Algorithmique

Classe de Terminale
Algorithmique et TICE

Le nouveau programme 2017 nous propose d'utiliser le langage Python dès la seconde et d'oublier Algobox qui était alors préconisé au Lycée. Les TD et fiches de cours qui suivent proposent donc des activités sous Python. Pour plus d'informations sur Python, consultez la page dédiée : Python au Lycée.

TD d'apprentissage

 

Pour se familiariser avec Python

 

TD : Travaux Dirigés de Terminale en Algorithmique par thème

Des TD d'algorithmique sur les thèmes du programme de mathématiques de terminale. Certains sont explicitement au programme de terminale spécialité et nous les identifions par l'acronyme ROC).

 

0. Les Listes en Python

Ce TD propose une introduction aux listes à partir d'un problème classique, la recherche du nombre d'occurrences sur une chaîne de caractères.

1. Les algorithmes et le dénombrement

  • TD Dénombrement : algorithmes et dénombrement.
    La factorielle et tous les ROC : le triangle de Pascal, Génération des permutations d'un ensemble fini, ou tirage aléatoire d'une permutation, Génération des parties à 2, 3 éléments d'un ensemble fini.
    • Capytale : capytale.fr
      Ce TD est a effectuer directement sur Capytale.fr en vous connectant avec vos identifiantts MonLycee.net
      Votre professeur doit vous donner un code pour accéder au Notebook.
    • Jupyter et les Notebook :  Une vidéo sur Jupyter.
      Une vidéo explicative et une documentation (lien) très complète sur Jupyter. 

2. Les algorithmes et les Suites

  • ROC - TD Suites n°1 : Suites et seuil
    Exercices de base (très guidés) : Suites définies par récurrence, problème de seuil (ROC), suite de Fibonacci et factorielle (notion de récursivité abordée).
     
  • TD Suites : TD n°2 : Suites et limites
    Exercices de base (très guidés) : Limites de suites définies par une relation de récurrence.
     
  • TD Suites  : TD n°3 : Suites imbriquées 
    Suites imbriquées, tableur, conjectures et algorithmes
     
  • ROC - TD Suites : TD n°4 : Suites et problèmes historiques
    Exercices divers partant souvent de problèmes historiques ou concrets (problème de Bâle, suite de Babylone ... )
    Approximation de \(\sqrt{a}\) (ROC) ,
     
  • Compléments non exigibles
    • TD Suites et compléments : La suite de Syracuse.
      La suite de Syracuse ou conjecture de Syracuse, de Collatz, d'Ulam, tchèque ou problème \(3x+1\)

    • TD Suites et Sommes  : Somme de termes
      Somme de termes d'une suite géométrique et problème de seuil. Un exemple de problème concret.

    •  TD suites et probabilités : D'après Bac - Suites et probabilités
      Suites et probabilité à partir d'un exercice du Bac

    •  TD suites et graphes probabilistes : D'après Bac - Suites et probabilités
      Suites et graphes probabilistes à partir d'un exercice du Bac  
       

 

6. Les algorithmes et les complexes

  •  TD Complexes : TD n°1 : Complexes et suites
    Complexes et suites, exercices adaptés de sujets du bac.

 

4. Les algorithmes et les Fonctions

 

5. Les algorithmes et probabilités

Variables aléatoires

  • TD Variables aléatoires 1 : Simuler une variable aléatoire
    L’objectif est de faire percevoir le principe de l’estimation de l’espérance d’une variable aléatoire, ou de la moyenne d’une variable statistique dans une population, par une moyenne observée sur un échantillon. Simuler une variable aléatoire avec Python. Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire. Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille n d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire..

Loi de Bernoulli et loi Binomiale

 

6. Les algorithmes et l'Intégration

 

Compléments

Notions mathématiques pas forcément liées au programme de Terminale

  • TD Arithmétique n°1 : tests de primalité 
    Un test de primalité et une amélioration avec une application concernant une fonction d'Euler.
     
  • TD Arithmétique n°2 : les nombres premiers jumeaux 
    Ecrire les nombres premiers et premiers jumeaux inférieurs à n.
     
  • TD : Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné : TD algorithmique
    Notion de liste, parcours séquentiel

  • Statistiques

    • TD Statistiques 1 : Statistiques .
      Moyenne, médiane, et quartiles Q1, Q3.
       
    • TD Statistiques 2 : Statistiques .
      Moyenne, variance et écart-type d'une série donnée avec une liste de valeurs et une d'effectifs.

 

Articles Connexes 

Terminale Spécialité : Fonctions trigonométriques

Les Mathématiques en TES/L

Terminale Spécialité Mathématiques
Étude des fonctions trigonométriques

 

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations Egyptiennes, Mésopotamiennes et Indiennes, il y a plus de 4 000 ans.
Il semblerait que les Babyloniens aient les premiers développé des concepts mathématiques avancés afin de traiter des problèmes liés à l'astronomie. On s'accorde généralement sur le fait que la contemplation du ciel nocturne à l'époque ait succité admiration, émerveillement et engendré l'envie de faire des recherches sur le sujet. C'est d'ailleurs de ces fantastiques scientifiques babyloniens qui utilisaient un système de numération en base 60, que nous est resté le découpage de heures et minutes en 60 et le découpage du cercle en 360 degrés.
Pour en savoir plus : lien.

cercle trigonometrique sinus cosinus

 

1. T.D. : Travaux Dirigés sur les fonctions sinus et cosinus


 Trigonométrie

 

2. Le Cours de Tle Spécialité sur les fonctions sinus et cosinus

 

  • Cours TS
    • Cours sinus et cosinus : avec preuves / sans preuve.
      Rappels de seconde et première, dérivabilité, parité, périodicité.
       

 720px Unit circle angles color.svg

3. Devoirs

 

4. Compléments

Le Bac

 

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Articles Connexes

Terminale Spécialité : Étude de fonctions, limites, continuité, dérivabilité et TVI

Les Mathématiques en TES/L

Mathématiques en Terminale Spécialité Maths
Fonctions : limites, continuité, dérivabilité, convexité et TVI

Ce chapitre est découpé en trois parties que l'on peut aborder distinctement. On va étudier les limites de fonctions, la continuité, la convexité et apporter des complément sur la dérivation.
Nous abordons la notion de continuité et, en point d'orgue, le fameux théorème de valeurs intermédiaires (le TVI) du mathématicien autrichien Bernard Bolzano (1781-1848).

 Bernard Bolzano TVI
Bernard Bolzano ( – )

 

1. T.D. : Travaux Dirigés sur les fonctions en terminale Spécialité maths


 

2. Le Cours sur les fonctions en terminale Spécialité maths

  • Cours Terminale spécialité mathématiques
    • Cours sur les limites Fonctions :  version avec preuves / version élèves.
      Limites de fonctions, la fonctions exponentielle, croissances comparées.
       
    • Cours sur les Fonctions - Continuité et TVI :  version avec preuves / version élèves.
      Continuité et TVI.
       
    • Cours sur les Fonctions - Dérivabilité et convexité :  version avec preuves / version élèves.
      Compléments sur la dérivation, dérivée seconde, convexité.
      => Animation géogébra pour le ROC : fonction convexe.
       

 

3. Devoirs

 

4. Compléments

Le Bac

 

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Articles Connexes

Terminale S : Les nombres Complexes

Les Mathématiques en TES/L

Mathématiques en Terminale S
Les Nombres Complexes

 

Une histoire ... complexe

Les nombres complexes naissent au 16e siècle dans les travaux des mathématiciens italiens qui cherchent une méthode de résolutions des équations du 3e degré.

Dans les premières années du 16e siècle, le mathématicien italien Scipione del Ferro, professeur de mathématiques à l'université de Bologne est le premier à trouver une méthode permettant de résoudre certaines équations du 3ème degré. Longtemps, il conserve secrète sa méthode (comme il est coutume de le faire à l'époque) puis finit par la communiquer à son gendre, Annibal de la Nave, lui aussi mathématicien.

En 1535, Tartaglia (dit le bègue) redécouvre la méthode de résolution de Scipio del Ferro. Pour en savoir plus : lire la page Tartaglia-Cardan.

Niccolo TartagliaNiccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »)

Tout au long du 17e siècle, les nombres complexes ne cessèrent de disparaître et de réapparaître.
Des mathématiciens aussi brillants que Leibniz et Jean Bernoulli s'engagent dans des controverses épistolaires sur ces nouveaux nombres. C'est vraiment seulement au 18e siècle que leur emploi se généralise et qu'ils sont véritablement réhabilités après que les mathématiciens apprirent à les représenter avec le plan d'Argand-Cauchy.

 Plan Argand Cauchy Complexes

Pour en savoir plus : l'histoire des nombres complexes.

 

1. T.D. : Travaux Dirigés sur les nombres complexes en TS

 

2. Le Cours sur les nombres complexes

 

3. Devoirs

 

4. Compléments

Le Bac

 

Un peu d'histoire des mathématiques

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Articles Connexes

Terminale Spécialité Maths : Combinatoire et dénombrement

Maths secondeClasse de Terminale Spécialité Maths

Combinatoire et dénombrement

  1. Terminale Spécialité Maths : Les Suites

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