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Mis à jour : 12 Janvier 2014

XIAN Jia 贾宪

Né à Kaifeng en 1010 - mort en 1070, Chine.

XIAN Jia est né à Kaifeng, une Ville-préfecture de l'est de la province du Henan en Chine, qui fut capitale impériale sous la dynastie Song du Nord (960-1127).

Jia XIAN était vraissemblablement un eunuque du Palais de l'empereur de Chine qui employait des hommes castrés, comme gardes et serviteurs de son palais.
Bien que leur rôle initial était que de garder le quartier des femmes, ces hommes avaient un réel pouvoir et une influence certaine. En plus de leur rôle de gardiens ils sont devenus conseillers intimes de l'Empereur, et parfois, ministres du gouvernement.

Formé par Chu Yan, le mathématicien chinois XIAN Jia est célèbre pour avoir découvert un tableau donnant les coefficients du dévelopement du binôme (a+b)ⁿ, plus connu sous le nom de triangle de Pascal autour de la première moitié du 11^ème siècle ; environ six siècles avant le savant français.

Jia Xian l'utilise comme un outil pour l'extraction des racines carrées et cubiques.
Le livre original de Jia Xian intitulé Shi Suo Shu Suan est perdu, mais la méthode de Jia Xian est clairement exposée par le mathématicien YANG Hui (1238–1298), qui reconnaît explicitement sa source :

"Ma méthode pour trouver des racines carrées et cubiques a été basée sur la méthode de Jia Xian  présentée dans le Shi Suo Suan Shu ».
YANG Hui (1238–1298) dans son traité Xiangjie Suanfa Jiuzhang (详解 九章 算法) de 1261.

Jia Xian propose aussi une méthode proche de l'algorithme de HORNER, du nom du mathématicien anglais William George HORNER (1786 - 1837), qui permet de calculer la valeur d'un polynôme en x₀.

Le triangle de Pascal dans le "Miroir de jade des quatre inconnues" de ZHU Shijie (1260-1320).
Publié plus de 3 siècles avant les oeuvres du français PASCAL Blaise (1623 - 1662). 

Bibliographie.

• [Kiyosi] : Kiyosi Yabuuti, Une histoire des mathématiques chinoises, Belin - Pour la science, Paris, 2000.
• [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.

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Mis à jour : 21 Septembre 2012

 PASCAL Blaise

Né à Clermont-Ferrand en 1623 - Mort 1662, France.

Né à Clermont-Ferrand, Pascal vint à Paris en 1631 avec son père et fréquenta dès 1635 l'Académie parisienne de Mersenne. En 1640, il suivit son père à Rouen, où toute la famille se convertit au christianisme austère de Port-Royal. Malade, Pascal revient, en 1647, à Paris et c'est alors la période dite "mondaine", riche d'une intense activité scientifique, suivie d'une seconde "conversion". 

Pascal, dès 1654, se consacra à une vie chrétienne militante et assista les jansénistes dans leur combat contre les jésuites.
Tout jeune, il fait montre de qualités intellectuelles exceptionnelles. On lui prête d'avoir redémontré seul un grand nombre des résultats d'Euclide. 

Il renonce aux sciences en 1660, au nom de son idéal chrétien. Malade, il décède à 39 ans sans avoir vu publier 'Les Pensées'.

Son apport mathématiques.

• A 16 ans, il écrit Essay pour les coniques (1640), ouvrage que DESCARTES René (1596-1650) trouve presque trop bien pour avoir été écrit par un adolescent. Pascal y expose le théorème qui porte son nom et qu'il appelle hexagramme mystique :
  
  Les côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique se coupent en trois points alignés.
  
  Ici donc, l'hexagone ABDEFG inscrit dans l'ellipse de foyers F₁ et F₂, a ses côtés opposés qui se coupent en trois points I, J et K qui sont alignés.

 Fichier source géogébra (.ggb)

• Il confectionne une machine à calculer (la pascaline) et en vend même une cinquantaine.

• Triangle de Pascal.
  En 1653, il propose le triangle arithmétique qui porte le nom de triangle de Pascal même si le mathématicien allemand STIFEL Michael (1487-1567) donne, un siècle avant lui, les coefficients du binôme jusqu'à l'ordre 17.
  
  
• En 1654, le chevalier de MÉRÉ le met en relation épistolaire avec Pierre de FERMAT (1601-1665) au sujet de problèmes de probabilités. Il deviendra l'un des fondateur du calcul des probabilités.
  
  
• Il se consacre à la fin de sa vie à l'analyse infinitésimal et obtient des résultats importants dans le domaine de l'intégration.
  PASCAL précise les notions de base du calcul infinitésimal en prolongeant les travaux de STEVIN (1548 - 1620), ROBERVAL (1602 - 1675) et DESCARTES René (1596 - 1650).
  Il n'utilisera cependant jamais l'algèbre symbolique qui apparait à cette époque (voir histoire des symboles) et continue à développer ses théorie en utilisant le langage géométrique. 

Bibliographie.

•  [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
• [Audi] : J.L.AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990.
• Crédit photo : Copie d'une peinture de François II Quesnel gravée par Gérard Edelinck en 1691. Date vers 1690, Technique/matériaux huile sur toile, Dimensions 70 cm x 56 cm, Lieu actuel : Château de Versailles.

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Mis à jour : 17 Septembre 2012

 D'AURILLAC Gerbert  ou SYLVESTRE II

Né en Auvergne vers 938 – mort à Rome le 12 mai 1003, France.

Pape sous le nom de Sylvestre II (de 999 à 1003), philosophe et mathématicien, Gerbert d'AURILLAC est fils de serf.
Il serait né vers 938 dans un village de la commune de Saint-Simon, en Auvergne. Il entre au monastère de Géraud d'Aurillac et y étudie les disciplines du trivium (grammaire et rhétorique).
En 963, le comte Borel II de Barcelone le prend sous sa responsabilité et l'emmène à Barcelone pour parfaire son éducation. Cette dernière sera tant religieuse que scientifique.
Les marchands arabes, qui ont adopté la numération indienne, sont nombreux à Barcelone (voir histoire des nombres) et Gerbert d'AURILLAC se rend vite compte des avantages de cette numération.
Vers l'an 1 000, Il usa de sa position papale pour le faire adopter ce système de numération par les clercs occidentaux

Son Oeuvre.

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Son oeuvre porte sur les opérations arithmétiques : La division avec son Libellus de numerorum divisione, Regulae de divisionibus dans lequel il expose une méthode de division euclidienne, les multiplications avec Libellus multiplicationum.
Il propose aussi dans Isagoge Geometriae, Liber geometriae artis, un traité de géométrie.
Il invente en outre une sorte de table à compter, l'abaque de Gerbert. Dans cette abaque les jetons multiples sont remplacés par un jeton unique portant un chiffre arabe ce qui facilite grandement les opérations. 

 Statue de Sylvestre II à Aurillac (15 000, Auvergne, Cantal)

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Mis à jour : 10 Septembre 2012

GREGORY James

Né en novembre 1638 – mort en octobre 1675, Écosse.

James GREGORY était un mathématicien et astronome écossais.
Son nom reste attaché au développement du télescope à réflexion (le télescope grégorien) et surtout, en mathématiques, il est connu pour ses représentations des fonctions trigonométriques en séries infinies.

Sa Vie.

Le plus jeune des 3 enfants de John GREGORY, a d'abord été éduqué à la maison par sa mère, Janet Anderson qui lui transmet sa passion pour les mathématiques.
Son oncle, Alexander Anderson (1592, Aberdeen – 1620, Paris) un mathématicien écossais est connu pour avoir été choisi par les héritiers de VIÈTE François (1540 - 1603) pour publier les manuscrits du célèbre algébriste.

Après la mort de son père en 1651, James GREGORY poursuit sa scolarité à la Aberdeen Grammar School, puis, en 1657, obtient son diplôme au collège Marischal.

En 1663, il part à Londres, et y rencontre le mathématicien John COLLINS (1625 - 1683) et son compatriote écossais Robert MORRAY (1609 - 1673), l'un des fondateurs de la Royal Society.
En 1664, il s'installe à Padoue et intègre son Université.

À son retour à Londres en 1668, il devient membre de la Royal Society (source : RSA) , avant de se rendre à St Andrews en 1668 pour prendre son poste de premier président du Regius de mathématiques, un poste créé pour lui par Charles II, sans doute sur la demande de Robert MORRAY (1609 - 1673). Il fut successivement professeur à l'Université de St Andrews et à l'Université d'Edimbourg.

Il épouse Marie, fille de George Jameson, peintre, et veuve de Peter Burnet des Elrick.

Environ un an après avoir assumé la chaire de mathématiques à Edimbourg, James Gregory subit un accident vasculaire cérébral lors de travaux sur les lunes de Jupiter avec ses élèves.
Il meurt d'apoplexie quelques jours plus tard à l'âge de 36 ans.

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Ses Travaux.

• Il propose la meilleur définition d'une fonction de son époque : => La notion de fonction.

C'est le mathématicien écossais James GREGORY (1638 – 1675) qui propose la meilleure définition de la notion de fonction au 17^ème siècle. [Dieudo] p 123 et [DaDaPe]

Une fonction est définie comme une quantité obtenue à partir d'autres quantités par une succession d'opérations algébriques ou par n'importe quelle opération imaginable.
Dans Vera circuli et hyperbolae quadratura, 1667.

Il précise qu'aux cinq opérations de l'algèbre (addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racine), il faut en ajouter une sixième définie comme un passage à la limite.

• Les séries infinies.
  
  
  • En 1667, il publie Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, dans lequel il montre que les aires délimitées par le cercle et l'hyperbole sont données par la somme de séries infinies.
    Ce livre contient la plus ancienne parution du développement des fonctions sinus, cosinus, arcsinus et arccosinus en séries de Taylor.
    
    
  • En 1671 (ou avant), il démontre la célèbre formule (au voisinage de 0) qui sera utilisée pour calculer des décimales du nombre pi.
    
    Arctan x = x - x³/3 + x⁵/5 - ...   (Série de GREGORY James)
    
    Cette série fut utilisée par le mathématicien anglais SHARP Abraham (1651 - 1742) pour calculer 72 décimales du nombre pi et est dérivée par le mathématicien allemand  LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646 - 1716).
    Source : [Cajo] p 206 (=> Voir sur googleBook)
    
    Pour rappel, le Développement Limité  (DL) de Arctan au voisinage de 0 est :
    
    
    
    
  • Approximation du nombre pi.
    
    Il propose une jolie formule permettant de trouver des décimales du nombre pi.
    Il suffit de remplacer x par 1 dans la série de GREGORY.
    Source : [Cajo] p 206 (=> Voir sur googleBook)
    
    π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...

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Mis à jour : 10 Septembre 2012

MERCATOR Nicolaus

Né en 1620 à Eutin - mort en 1687 à Versailles, Allemagne.

Le mathématicien allemand Niklaus KAUFFMAN change son nom de famille, ce qui était une chose commune à l'époque, en Mercator, forme latinisée de «marchand».
Son père, Martin Kauffman, était maître d'école à Oldenburg (région de Holstein) de 1623 jusqu'à sa mort en 1638. Il est vraissemblable de penser que Nicolas a fréquenté l'école de son père.

Il entre à l'université de Rostock en 1632, et obtient son diplôme en 1641.
En 1642, il est nommé à un poste à la Faculté de philosophie de l'Université. En 1648, Mercator déménage à l'Université de Copenhague. C'est alors qu'il publie un certain nombre de manuels sur la trigonométrie, la géographie et l'astronomie.

Une épidémie de peste provoque la fermeture de l'université en 1654, Mercator décide alors d'en partir.
On sait peu de chose sur cette période de sa vie, il fait certainement un passage à Paris et s'installe en Angleterre un peu avant 1660, selon certains historiens, à la demande de l'homme politique anglais Olivier CROMWELL (1599 - 1658).

Mercator ne parvient pas à obtenir un poste universitaire, il donne alors de cours particuliers à Londres.
Sa correspondance avec les célébrités mathématiques de l'époque comme Oughtred, Pell et Collins, forge sa renommée en Angleterre.

Dans sa première publication Hypothesis astronomica nova (publiée à London en 1664), il combine la théorie de Kepler sur les orbites elliptiques avec d'autres idées de son cru. Il invente un chronomètre maritime qui permet de déterminer avec précision la longitude en mer. Cette invention lui permet d'entrer dans la Royal Society en 1666.

Ne trouvant pas de poste de professeur à Londres, il retourne en France en 1682 et participe au projet de construction des fontaines du château de Versailles. Il y meurt en 1687

Ses Travaux.

• Son nom reste lié à la fonction logarithmique. Il publie parmi les premières tables des logarithmes des fonctions trigonométriques qui sont utilisées dans le but de faciliter les calculs astronomiques.
• Mercator qui est, pour le mathématicien français D'ALEMBERT Jean Le Rond (1717 - 1783), l'inventeur des suites infinies, a découvert la série bien connue, parfois appelée série de Mercator,

ln (1 + x) = x - x² / 2 + x³ / 3 - x⁴ / 4 + ...

• Il est le premier avec NEWTON (1643 – 1727), à proposer une technique fine permettant de développer des fonctions en séries.
  En 1668, dans Logarithmotecnia, il trouve l'aire de l'hyperbole en développant en série géométrique 1/(1+x) puis, en intégrant terme à terme comme l'anglais WALLIS John (1616-1703), il obtient le développement de la série qui porte son nom mais qui fut obtenue par Sir Isaac NEWTON (1643 – 1727) en 1665. [Dieudo] p 123
  
  
• => Pour en savoir plus sur la notion de fonction.
  

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Remarque.

• On le confond souvent avec Gerardus MERCATOR (1512-1594), créateur de la projection de Mercator.
• Gerard KREMER, connu sous son nom latinisé de Gerardus MERCATOR, et en français, sous celui de Gérard MERCATOR, est un mathématicien et géographe flamand, inventeur de la projection qui porte son nom.
  
  

Sources.

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• [Audi] : J.L.AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990.

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Mis à jour : 26 Septembre 2013

 DESCARTES René du Perron

né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine, ville renommée Descartes (Indre-et-Loire) à partir de 1967, et mort le 11 février 1650 à Stockholm, France.

Né à la Haye, en Tourraine, Descartes, diplômé en droit de l'Université de Poitiers, étudia les mathématiques à Paris sous la direction de Mydorge et de Mersenne. Il entra, en 1617, dans l'armée du prince d'Orange, et pendant neuf ans alternativement il servit dans diverses armées et ribota à Paris. Il s'établit, en 1629, en Hollande et accepta, en 1649, une invitation de la reine Christine de Suède. Il est mort de pneumonie peu après son arrivée à Stockholm.

Son oeuvre.

L'apport fondamental de DESCARTES en mathématiques est l'introduction de la géométrie analytique.

Après avoir tracé deux axes perpendiculaires, il remarque que tout point du plan est déterminé par ses distances algébriques x et y aux axes. Une courbe est alors définie par une équation de la forme f(x, y) = 0.

Il affirme que cela peut se faire de même en dimension 3, mais il se consacre au plan. Pour définir les propriétés d'une courbe donnée par une propriété géométrique, il suffit d'exprimer une relation qui lie ses coordonnées; ceci donne une équation qui contient implicitement toutes les propriétés de la courbe. 

• Il donne une des première définition de la notion de fonction.

DESCARTES propose une classification des courbes.

1. 1. Les courbes géométriques : Les coordonnées x et y sont reliées par une équation polynômiale.
   2. Les courbes mécaniques ou transcendantes : comme le logarithme, DESCARTES les rejète.

Pour lui, selon le philosophe Jules VUILLEMIN (1920 - 2001), une fonction est donc : 

"Est fonctionnelle pour DESCARTES, une relation qui permet de faire correspondre à une longueur donnée, une autre longueur déduite de la première par un nombre fini d'opérations algébriques".

• Il ramène l'étude de l'intersection de deux courbes à la résolution d'un système d'équations.
• DESCARTES s'intéresse à la tangente à une courbe. Il la définit comme limite de la sécante et en donne une construction compliquée en la confondant avec celle d'un cercle qui passe par des points rapprochés. 
• DESCARTES énonce le théorème, démontré par EULER, qui compare le nombres de faces, sommets et arêtes d'un polyèdre.
• Il traite de l'utilisation des lettres en mathématiques. Il choisit celles du début de l'alphabet pour les quantités connues et celles de la fin pour les inconnues.
  Cette habitude a perduré.
  
• On lui doit aussi des résultats en optique dans La Dioptrique et une explication des phénomènes atmosphériques dans Les Météores.
  Son explication de l'arc-en-ciel y est erronée, puisqu'il ignore la diffraction de la lumière.
  Il reprend dans Principia ses explications sur l'univers. 

L'œuvre philosophique de DESCARTES est fondamentale et influence tout le développement des sciences.

• Il affirme que l'essence de la science est dans les mathématiques.
  
• Il différencie le monde objectif qui est incarné par la géométrie et dont les propriétés physiques sont régies par des lois mathématiques, seuls Dieu et l'âme échappent selon lui à ce monde mécaniste.
  
• Il explique alors la méthode que doit suivre tout scientifique:
  • ne reconnaître quelque chose comme vrai que si cela a été clairement démontré ;
  • résoudre systématiquement les problèmes en les analysant partie par partie ;
  • partir des considérations les plus simples et aller vers les plus complexes ;
  • passer tout en revue pour être sûr de ne rien avoir oublié. 

Sources.

• Photo : D'après Frans Hals, Portrait de René Descartes (1596-1650), vers 1649-1700
  Technique/matériaux huile sur toile - Dimensions 77,5 × 68,5 cm - Lieu actuel Musée du Louvre, Richelieu, 2e étage, salle 27. Paris

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Mis à jour : 7 Septembre 2012

 BERNOULLI Jakob, francisé Jacques

Bâle 1657 - Bâle 1705, Suisse.

Jacques BERNOULLI est le premier d'une ligné de mathématiciens de premier plan. Il est le frère de Jean Bernoulli et l'oncle de Daniel Bernoulli et Nicolas Bernoulli.

Né à Bâle, il étudia, à l'université de sa ville natale, la philosophie, la théologie, les mathématiques et l'astronomie, ces deux dernières contre la volonté de son père. Il voyage en France, en Angleterre et dans les Flandres pour rencontrer des scientifiques renommés.
A son retour en Suisse en 1687, il devient professeur à l'université de Bâle.
En mathématique il développe le calcul infinitésimal et l'adapte à l'étude des courbes.

• Il étudie les courbes isochrones : courbes planes que décrit un corps en chute libre dont la composante verticale de la vitesse est uniforme.
• En 1691, il introduit le terme calcul intégral dans son sens mathématique actuel. [HaSu] 
• Il démontre avec rigueur la convergence de la série Σ1/n² ainsi que la loi faible des grands nombres pour le jeu de pile ou face, appelé théorème de Bernoulli. [HaSu] 

Jacques Bernoulli aimait particulièrement la spirale logarithmique, et ses propriétés d'invariance.
Il demanda à ce que l'on en grave une sur sa tombe, accompagnée des mots "Eadem mutata resurgo", ("Elle renait changée en elle-même").
Hélas, le graveur, mauvais mathématicien, dessina une spirale d'Archimède!

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Mis à jour : 27 Novembre 2025

 ORESME Nicole ou Nicolas

Né vers 1320 dans le village d'Allemagne (Fleury sur Orne, CP 14 123), près de Caen, mort à Lisieux le 11 juillet 1382, France.

Sommaire

1. Introduction
2. Repères biographiques
3. Oresme, précurseur de la géométrie analytique
4. La divergence de la série harmonique
5. Oresme et les exposants fractionnaires (et irrationnels)
6. Autres contributions scientifiques
7. Héritage et postérité
8. Sources et bibliographie

1. Introduction

Nicolas (ou Nicole) Oresme (vers 1325–1382) est l’une des figures majeures de la pensée scientifique médiévale. Philosophe, théologien, économiste, astronome et mathématicien, il fut également évêque de Lisieux et conseiller du roi de France Charles V.

En mathématiques, on lui doit plusieurs avancées remarquables :

• la première preuve connue de la divergence de la série harmonique \(1 + \dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + \dots\), par une méthode de regroupement des termes aujourd’hui très proche du test de condensation de Cauchy ;
• l’usage systématique de graphes rectangulaires pour représenter des grandeurs (intensité en fonction d’une “longueur”), ce qui en fait un véritable précurseur de la géométrie analytique ;
• l’introduction et l’étude des exposants fractionnaires, avec des règles de calcul telles que \((x^p)^q = x^{pq}\), et des tentatives d’extension aux exposants irrationnels comme \(\sqrt{2}\).

Nicolas Oresme en une phrase.
Plus de deux siècles avant Descartes, Oresme construit des représentations graphiques proches des coordonnées cartésiennes et manipule des puissances à exposants fractionnaires, tout en donnant la première preuve de la divergence de la série harmonique.

2. Repères biographiques sur Nicolas Oresme

Nicolas Oresme naît vraisemblablement vers 1325 à Fleury-sur-Orne, près de Caen, en Normandie. Il étudie à Paris, au Collège de Navarre, l’un des centres intellectuels les plus importants de l’Europe médiévale. Il y devient maître en théologie et y enseigne la philosophie naturelle (physique au sens aristotélicien), les mathématiques et l’astronomie.

Son parcours le mène ensuite à la cour de Charles V, dit “le Sage”, dont il devient un conseiller proche. Oresme traduit en français plusieurs œuvres d’Aristote (par exemple Éthique à Nicomaque, Politique, De caelo), en y ajoutant des commentaires originaux.

En 1377, il est nommé évêque de Lisieux, fonction qu’il occupe jusqu’à sa mort en 1382. Ses écrits couvrent l’astronomie, la critique de l’astrologie, l’économie monétaire, la musique, et bien sûr les mathématiques.

En savoir plus sur le contexte intellectuel du XIV^e siècle

Oresme appartient au courant des calculatores d’Oxford et de Paris, qui développent une approche quantitative et mathématisée de la philosophie naturelle. Avec ses contemporains (Bradwardine, Swineshead, etc.), il contribue à faire passer certaines questions physiques (vitesse, mouvement, intensité d’une qualité) du langage purement qualitatif à un traitement géométrique et numérique.

3. Oresme, précurseur de la géométrie analytique

L’une des contributions les plus modernes d’Oresme se trouve dans son Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum. Il y introduit une représentation graphique où l’on associe, à chaque point d’un segment (la longitudo), une hauteur représentant l’intensité d’une “qualité” (la latitudo) : température le long d’une tige, vitesse en fonction du temps, etc.

De latitudinibus formarum, 1486

 

Ces “configurations” sont en fait des graphes en coordonnées rectangulaires : l’horizontale représente la variable “indépendante” (temps, position, etc.) et la verticale la variable “dépendante” (intensité, vitesse, température…). Dans plusieurs passages, Oresme considère explicitement des configurations linéaires (intensité croissant régulièrement) qui correspondent, pour nous, à une droite d’équation affine.

Un ancêtre de l’équation d’une droite.
Lorsqu’Oresme décrit une qualité dont l’intensité augmente régulièrement le long d’un segment, il considère une configuration dont les hauteurs sont alignées sur une droite. En langage moderne, cela revient à dire que l’intensité est donnée par une relation du type \( y = ax + b \). On peut ainsi le considérer comme l’un des précurseurs de la géométrie analytique, bien avant Descartes.

Détails : lecture moderne d’une configuration linéaire

Considérons un segment horizontal représentant le temps, allant de \(t = 0\) à \(t = T\). Pour chaque instant \(t\), Oresme imagine une hauteur représentant la vitesse à cet instant. Si la vitesse est constante, toutes les hauteurs sont égales : on obtient un rectangle. Si la vitesse croît régulièrement, les hauteurs sont proportionnelles à \(t\), et l’enveloppe forme un triangle rectangle.

Dans notre langage moderne, cela revient à dire : \[ v(t) = a t + b, \] ce qui est précisément une droite dans un repère \((t, v)\). Le fait de manipuler ces figures et de les comparer le rapproche fortement de ce que sera, au XVII^e siècle, la géométrie analytique.

4. La démonstration d’Oresme de la divergence de la série harmonique

Oresme est crédité de la première preuve rigoureuse de la divergence de la série harmonique :

\[ 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \cdots \]

Son idée consiste à regrouper les termes par blocs dont la somme est toujours au moins \(\dfrac12\). On obtient ainsi une nouvelle écriture de la série où l’on voit que la somme dépasse successivement \(1\), \(1 + \dfrac12\), \(1 + \dfrac12 + \dfrac12\), etc., et ne peut donc pas converger.

Théorème (Oresme).
La série harmonique \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac1n \) est divergente : ses sommes partielles peuvent dépasser toute valeur donnée.

Preuve par regroupement des termes (idée d’Oresme).

On réécrit la série en regroupant certains termes : \[ 1 \;+\; \frac12 \;+\; \left(\frac13 + \frac14\right) \;+\; \left(\frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18\right) \;+\; \left(\frac19 + \cdots + \frac1{16}\right) \;+\; \dots \]

• Le premier terme vaut \(1\).
• Le deuxième terme vaut \(\dfrac12\).
• Dans le bloc \(\dfrac13 + \dfrac14\), chaque terme est \(\geq \dfrac14\), donc la somme est \(\geq 2 \times \dfrac14 = \dfrac12\).
• Dans le bloc \(\dfrac15 + \dfrac16 + \dfrac17 + \dfrac18\), chaque terme est \(\geq \dfrac18\), donc la somme est \(\geq 4 \times \dfrac18 = \dfrac12\).
• Dans le bloc suivant, de \(\dfrac19\) à \(\dfrac1{16}\), il y a 8 termes, chacun \(\geq \dfrac1{16}\), donc la somme est \(\geq 8 \times \dfrac1{16} = \dfrac12\).

À chaque nouveau bloc, on additionne au moins \(\dfrac12\). Les sommes partielles dépassent donc successivement \[ 1,\quad 1 + \frac12,\quad 1 + \frac12 + \frac12,\quad 1 + \frac12 + \frac12 + \frac12,\ \dots \] On peut ainsi atteindre n’importe quelle valeur, ce qui montre que la série ne converge pas.

\(\boxed{\text{La série harmonique est divergente.}}\)

Comparaison avec la preuve “moderne” par intégrale

Dans une approche contemporaine, on compare souvent la série harmonique à l’intégrale \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac1x\,dx\), qui diverge. Le résultat moderne est que, pour une fonction positive décroissante, la convergence de la somme \(\sum f(n)\) équivaut à celle de l’intégrale correspondante.

Oresme, lui, ne disposait pas encore du calcul intégral ; sa méthode par regroupement des termes est donc particulièrement ingénieuse pour le XIV^e siècle, et annonce le test de condensation de Cauchy utilisé plus tard en analyse.

Pour une présentation détaillée et d’autres preuves de la divergence de la série harmonique, on pourra se reporter à la page Math93 consacrée à la série harmonique.

5. Oresme et les exposants fractionnaires (et irrationnels)

Dans des œuvres comme Algorismus proportionum et surtout De proportionibus proportionum, Oresme s’intéresse à la façon de composer des rapports et introduit, dans ce contexte, des expressions que l’on interprète aujourd’hui comme des puissances à exposants fractionnaires.

Exposants fractionnaires chez Oresme.
Oresme introduit des expressions qui correspondent, en notation moderne, à des puissances du type \( x^{\frac{m}{n}} \), et établit des règles de calcul pour ces puissances, bien avant la formalisation complète qu’en donneront les mathématiciens des XVII^e et XVIII^e siècles.

Parmi ces règles, on trouve notamment des formes équivalentes aux lois suivantes :

\[ x^m \cdot x^n = x^{m+n} \qquad\text{et}\qquad (x^p)^q = x^{pq}. \]

L’identité moderne \((x^p)^q = x^{pq}\) apparaît chez Oresme dans un langage de rapports de rapports. C’est un pas décisif vers une arithmétique des puissances qui ne se limite plus aux exposants entiers.

Tentative de définition des exposants irrationnels

Oresme ne se contente pas de considérer des exposants rationnels. Il tente d’étendre ses raisonnements à des exposants que nous appellerions aujourd’hui irrationnels, comme \(\sqrt{2}\). En notation moderne, cela reviendrait à vouloir donner un sens à \(x^{\sqrt{2}}\).

L’obstacle, pour un mathématicien du XIV^e siècle, est l’absence de concept formel de limite et de continuité. Il est donc difficile de définir rigoureusement ce que signifie “élever un nombre à une puissance irrationnelle”. Oresme pressent l’importance du problème, mais ses tentatives restent incomplètes au regard de l’analyse moderne.

Il n’en demeure pas moins que sa démarche anticipe, de plusieurs siècles, le travail de mathématiciens comme Euler sur les puissances réelles et les fonctions exponentielles.

On peut donc légitimement considérer Oresme comme l’un des pionniers de la théorie des exposants : il manipule des puissances à exposants fractionnaires, utilise les règles de composition comme \((x^p)^q = x^{pq}\) et ouvre la voie à une extension vers les exposants irrationnels, même si celle-ci ne sera véritablement clarifiée qu’avec le développement de l’analyse réelle.

6. Autres contributions d’Oresme aux sciences

Au-delà de la géométrie des configurations, de la série harmonique et des exposants, Oresme a laissé des travaux marquants dans plusieurs domaines :

• Physique et cinématique : formulation d’un précurseur du “théorème de la vitesse moyenne” (mean speed theorem), qui annonce des résultats de la cinématique galiléo-newtonienne ;
• Astronomie : discussions sur la rotation de la Terre et la structure du cosmos, parfois étonnamment proches de points de vue modernes ;
• Musique : étude des rapports de fréquences et de l’harmonie, prolongeant la tradition pythagoricienne et boécienne tout en y apportant une analyse plus fine ;
• Économie : analyse du rôle de la monnaie, de la dévaluation et de la “juste valeur”, qui fait d’Oresme un des grands théoriciens économiques du Moyen Âge ;
• Critique de l’astrologie : dans son Livre de divinacions, il propose une critique rationnelle et théologique des prétentions de l’astrologie divinatoire.

Exemple : vitesse moyenne et aire sous la courbe

Dans le Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, Oresme interprète la “quantité totale” d’une qualité variable (par exemple la distance parcourue à vitesse variable) comme l’aire d’une configuration. Cette idée — interpréter une “somme” de valeurs comme une aire sous une courbe — est un ancêtre conceptuel de l’intégrale définie.

Lorsqu’il montre qu’un mouvement uniformément accéléré a la même distance parcourue qu’un mouvement uniforme à la vitesse moyenne, il anticipe ce qui sera formalisé plus tard sous le nom de théorème de la vitesse moyenne en cinématique.

7. Héritage et postérité

Pendant plusieurs siècles, l’œuvre d’Oresme reste relativement peu connue en dehors des cercles savants. Néanmoins, les historiens des mathématiques voient aujourd’hui en lui un maillon essentiel entre la tradition médiévale et la naissance des mathématiques modernes.

On peut résumer son héritage en quelques points :

• il donne la première preuve de la divergence de la série harmonique, ouvrant la voie à l’étude des séries infinies au-delà de la simple série géométrique ;
• il invente un langage graphique (configurations) qui anticipe la géométrie analytique et les représentations fonctionnelles ;
• il explore les exposants fractionnaires et irrationnels, préfigurant la théorie moderne des puissances réelles ;
• il contribue à l’idée que des phénomènes physiques (mouvement, chaleur, sons…) peuvent être modélisés mathématiquement et représentés par des courbes et des aires.

Pour toutes ces raisons, Nicolas Oresme mérite pleinement sa place parmi les grands noms de l’histoire des mathématiques, aux côtés de figures plus connues comme Descartes, Galilée ou Euler.

8. Sources et bibliographie

Quelques références sur Nicolas Oresme.

Sources historiques et études modernes (sélection) :

• MacTutor History of Mathematics, biographie de Nicole Oresme (University of St Andrews).
• Stanford Encyclopedia of Philosophy, article “Nicole Oresme”.
• M. Clagett, Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions.
• E. Grant, “Nicole Oresme and his De proportionibus proportionum”, Isis.
• Études modernes sur la preuve d’Oresme de la divergence de la série harmonique, et sur ses configurations (rectangular coordinates).

Les images utilisées (portraits, manuscrits, diagrammes) proviennent de bibliothèques numériques publiques (par exemple Bibliothèque nationale de France, bibliothèques universitaires) et de reproductions domaine public ou sous licence compatible.

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Mis à jour : 4 Octobre 2013

AL-HASSAR Abu Bakr 

Autour du 12ème siècle, Maroc.

Al-Hassar ou Abou Bakr Muhammad ibn Abdallah ibn al-Hassar Ayyash était un mathématicien marocain, du 12^ème siècle.

Il est l'auteur de deux livres Kitab al-bayan wat-tadhkar (Livre de la démonstration et la mémorisation), un manuel de calcul et Kitab al-kamil fi al-sinaat adad (Livre complet sur ​​l'art des nombres).

Le premier livre est perdu et seule une partie du second livre est encore existant.
Al-Hassar a développé la notation symbolique mathématique moderne pour les fractions, où le numérateur et le dénominateur sont séparés par une barre horizontale. Cette notation fractionnaire  apparue peu de temps après dans le travail du célèbre mathématicien italien FIBONACCI au 13^ème siècle.

=> Les fractions.

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Sources.

• Selin, Helaine, ed. (1997). Encyclopaedia of the history of science, technology, and medicine in non western cultures. Boston: Kluwer Academic. p. 615
• [Cajo] : Florian CAJORI, History of mathematicals notations, Thèse de réf. 01-1 CAT.74.

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Mis à jour : 3 Septembre 2012

 BERNOULLI Johann francisé Jean

Né le 27 juillet 1667 Bâle - mort le 1er janvier 1748 Bâle, Suisse.

Né à Bâle, frère de Jacques, Jean Bernoulli entama des études de médecine, mais étudia les mathématiques avec son frère. En 1691-92, il fit un séjour à Paris; en 1695, il accepta la chaire de mathématiques de l'Université de Groningue, aux Pays-bas. En 1705, il succéda à son frère à l'Université de Bâle. 

Les intégrales doubles apparaissent à la fin du 17ème siècle chez BERNOULLI Johann francisé Jean (1667-1748) et l'allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716). [Dieudo] p 25

La notion de fonction : pour en savoir plus =>

BERNOULLI Jean en 1718 propose la définition suivante pour une fonction :

"On appelle fonction d'une grandeur variable une quantité composée, de quelque manière que ce soit, de cette grandeur variable et de constante."

Il propose en outre la notation : Φx.