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Mis à jour : 6 Mars 2022

Le Papyrus de Rhind

Les Égyptiens, vers 1 600 av. J.-C., utilisaient deux systèmes d'écriture.

• L'un, hiéroglyphique, utilisé sur les monuments et les pierres tombales, est d'ordre pictural.
• L'autre, hiératique, une langue en signes cursifs bien plus pratique d'utilisation que les célèbres hiéroglyphes.
  => Pour des compléments, consultez la page : La numération égyptienne.

Cette écriture hiératique prédomine sur les papyrus, qui sont la principale source de renseignements sur les mathématiques égyptiennes. 
Les plus célèbres sont :

• Le Papyrus de Moscou, écrit vers 1 850 av. J.-C et découvert en 1893 par le russe Vladimir Semionovitch Golenichtchev (1856-1947). Conservé au Musée des Beaux-arts de Moscou.
• Le Rouleau de cuir des mathématiques égyptiennes. Mis à plat en 1927, il comporte 26 additions de fractions unitaires. Il est conservé au British Museum de Londres, n° 10 250.
• Et surtout, le célèbre Papyrus de Rhind. Conservé aussi au British Museum de Londres, n° 10 057.

En 1858, Alexander Henry RHIND (1833-1863), un avocat écossais et égyptologue, achète à un antiquaire de Louxor un papyrus récemment découvert dans un petit monument proche du Ramesseum de l'antique Thèbes, aujourd'hui Louxor.
Thèbes est le nom grec (Thebai) de la ville d'Égypte antique Ouaset.

Ce document datant 1650 avant notre ère, serait une copie effectuée par le scribe Ahmès d'un original vieux de deux siècles.
Rhind est mort dans son sommeil à l'âge de 30 ans. Il lègue alors une bibliothèque de 1600 volumes à la Société des Antiquaires d'Ecosse, qui, selon ses dernières volontés, revend le papyrus au British Museum de Londres.
On peut encore y voir aujourd'hui un fragment de 199,5 cm sur 32 cm, dans la salle 90 (Ref. EA 10057).

Écrit en hiératique, le papyrus Rhind comporte une introduction, une table de décomposition de fractions de type 2/n, et une liste de 86 problèmes avec leurs solutions. 

• Au recto, le texte traite de la division : division du nombre 2 par des nombres impairs de 3 à 101, et division des nombres 1 à 9 par 10 ;
• au verso, il donne 87 problèmes avec leur solution : problèmes portant sur les quatre opérations, la calcul des volumes, résolution d'équations, etc.
  => Pour des compléments, consultez la page  : Les fractions égyptiennes.

La table de "deux" du Papyrus de Rhind

Le papyrus de Rhind comportait 87 problèmes, d'arpentage, d'arithmétique ou de géométrie, qui nécessitaient pour leur résolution, de savoir décomposer une fraction de la forme 2/n en somme de fractions unitaires (de numérateur 1). 

Plusieurs tables de décomposition étaient à disposition des lecteurs et une de ces tables, la table dite "de deux", se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.

Par exemple :

• \(\dfrac25=\dfrac13+\dfrac{1}{15}\)
• \(\dfrac27=\dfrac14+\dfrac{1}{28}\) 
• \(\dfrac29=\dfrac16+\dfrac{1}{18}\)
• \(\dfrac{2}{11}=\dfrac16+\dfrac{1}{66}\)
• \(\dfrac{2}{13}=\dfrac18+\dfrac{1}{52}+\dfrac{1}{104}\)
• ...
• \(\dfrac{2}{101}=\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{202}+\dfrac{1}{303}+\dfrac{1}{606}\) 

Voici la table complète : 

Une valeur approchée du nombre pi au dixième par Ahmès !

Dans les problèmes 48 et 50, Ahmès étudie le rapport liant l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire du disque à celle d'un carré équivalent.

En cela, le papyrus Rhind propose une première approche de la célèbre quadrature du cercle, c'est à dire la construction d'un carré de même aire qu'un disque donné.

C'est seulement en 1882 que le mathématicien allemand Ferdinand von LINDEMANN (1852-1939), parvint finalement à démontrer que la quadrature du cercle est impossible.

Le scribe Ahmès utilise alors le carré de côté \(\dfrac{8d}{9}\) où \(d\) est le diamètre du cercle ; en d'autres termes, l'aire d'un cercle de diamètre 9 unités est presque égale à l'aire d'un carré de 8 unités.

$$\pi R^2\approx \Big(\dfrac{16R}{9}\Big)^2$$

Ainsi, on obtient une valeur approchée du nombre pi, au dixième car :

$$\pi\approx \left(\dfrac{16}{9}\right)^2=\dfrac{256}{81}$$

Et donc en utilisant les fractions égyptiennes de numérateur 1

$$\pi\approx \dfrac{256}{81}= 3+\dfrac19+\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{81} \approx 3,160$$

=> Pour des compléments, consultez la page  : Histoire du nombre pi.

Sources

• British Museum.
• [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
• [TanHs30] : Tangente, Histoire des mathématiques de l'Antiquité à l'an Mil, HS n°30, Pole, Paris, 2007.
• [Guedj2] : Denis GUEDJ, L'empire des nombres, Découvertes Gallimard, Sciences.

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Mis à jour : 10 Février 2013

La numération égyptienne.

Les Égyptiens, vers 1 600 av. J.-C., utilisaient deux systèmes d'écriture.

• L'un, hiéroglyphique, utilisé sur les monuments et les pierres tombales, est d'ordre pictural. Chaque symbole, représente un objet.
  La numération hiéroglyphique est à base 10, non positionnelle. On dispose de symboles différents tirés de la faune et de la flore du Nil, pour désigner 10, 100, 1 000, etc., on répète un symbole, autant de fois que nécessaire.
• L'autre, hiératique, une langue en signes cursifs bien plus pratique d'utilisation que les célèbres hiéroglyphes.
  La numération hiératique est aussi décimale, mais des signes spéciaux supplémentaires évitent la répétition des symboles du système hiéroglyphique. 

• •          : pour le 1.
  •    : pour 10.
  •       : pour 100 (Représente une corde).
  •      : pour 1 000 (Représente un lotus).
  •  : pour 10 000 (Représente un doigt).
  •  : pour 100 000 (Représente un têtard).
  •  : pour 1 000 000.

Par exemple le nombre 1 232 s'écrit :  

Les symboles identiques sont parfois disposés les uns sur les autres pour gagner de la place.

Le Papyrus de Rhind.

Cette écriture hiératique prédomine sur les papyrus, qui sont la principale source de renseignements sur les mathématiques égyptiennes. 
Les plus célèbres sont :

• Le Papyrus de Moscou, écrit vers 1 850 av. J.-C et découvert en 1893 par le russe Vladimir Semionovitch Golenichtchev (1856-1947). Conservé au Musée des Beaux-arts de Moscou.
• Le Rouleau de cuir des mathématiques égyptiennes. Mis à plat en 1927, il comporte 26 additions de fractions unitaires. Il est conservé au British Museum de Londres, n° 10 250.
• Et surtout, le célèbre Papyrus de Rhind.

Écrit en hiératique, le papyrus Rhind comporte une introduction, une table de décomposition de fractions de type 2/n, et une liste de 86 problèmes avec leurs solutions. 

 => Pour en savoir plus, consultez la page : Le Papyrus de Rhind.

Les Fractions égyptiennes.

En dehors des entiers, les égyptiens ne concevaient que des fractions unitaires (de numérateur 1).
[...]

=> Pour en savoir plus, consultez la page : Les Fractions égyptiennes. 

Sources.

• [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
• [TanHs30] : Tangente, Histoire des mathématiques de l'Antiquité à l'an Mil, HS n°30, Pole, Paris, 2007.
• [Guedj2] : Denis GUEDJ, L'empire des nombres, Découvertes Gallimard, Sciences.

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Mis à jour : 14 Mars 2025

Le nombre Pi : Historique du record de calcul des décimales de Pi

Le record en cours du calcul des décimales de Pi

202  billions de décimales : 28 juin 2024

Le record actuel du calcul des décimales de π a été établi le 28 juin 2024 par Jordan Ranous et l'équipe de StorageReview, atteignant 202 112 290 000 000 décimales soit environ 202,1 billions, (attention billion français correspond à $10ˆ{12}$).

Ce calcul a été réalisé à l'aide du programme y-cruncher, connu pour sa capacité à effectuer des calculs de haute précision.  

Les précédents records incluent celui d'Emma Haruka Iwao, une ingénieure de Google, qui avait calculé π jusqu'à 100 billions de décimales en juin 2022. 

Ces avancées illustrent les progrès constants en matière de calcul haute performance et de gestion des données massives.

100 000  milliards de décimales : 21 March 2022

Les records sont faits pour être battus. Le 21 mars 2022, Google annonce un nouveau record : 100 000 milliards de chiffres de π.

C'est la deuxième fois qu'ils utilisent Google Cloud pour calculer un nombre record de chiffres pour la constante mathématique, triplant le nombre de chiffres en seulement trois ans.

Cette réussite témoigne de la rapidité avec laquelle l'infrastructure de Google Cloud s'accélère, année après année. La technologie sous-jacente qui a rendu cela possible est Compute Engine, le service d'informatique sécurisé et personnalisable de Google Cloud, et ses nombreux ajouts et améliorations récents : la famille de machines Compute Engine N2, la bande passante de sortie de 100 Gbps, Google Virtual NIC et les disques persistants équilibrés

62 800 milliards de décimales : aout 2021

En août 2021, des chercheurs de l'université des Sciences appliquées des Grisons, en Suisse explosent les précédents records de recherche des décimales de \(\pi\) avec un nombre astronomique de 62 800 milliards de décimales !

Cela en faisant tourner de puissant ordinateur pendant 108 jours et 9 heures de calcul.

Le derniers chiffres connus sont : 7817924264.

 $$\large \pi \approx 3,14 \cdots 7817924264$$

La HES des Grisons bat ainsi le record établit en janvier 2020 par l'Américain Timothy Mullican avec 50'000 milliards de décimales après la virgule: il lui a fallu 303 jours pour parvenir à ce résultat.

Le précent record appartenait à l'informaticienne et mathématicienne japonaise Emma Haruka Iwao, travaillant pour Google, qui avait calculé Pi avec 31'415 milliards de décimales en 2018. L'ordinateur utilisé par la HES a réalisé son calcul presque deux fois plus vite que Google et 3,5 fois plus rapidement que Timothy Mullican.

• 10 000 milliards de décimales : Le 16 Octobre 2011. 
  Les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru Kondo explosent leur précédent record.
  Ils calculent exactement 10 000 000 000 050 décimales du nombre pi, après 371 jours de travail.
  
  La machine employée est composée d'un duo de processeurs Xeon X5680 à 3,33 GHz associé à 96 Go de mémoire DDR3, ainsi 24 disques de 2TB.
  
  Le programme utilisé se nomme y-cruncher. Il a été conçu par Alexander J. Yee . 
  
  Après 371 jours de calcul, les 10 000 milliards de décimales, soit plusieurs téraoctets de données, ont du être vérifiées au moyen d'un second algorithme exécuté par une série de machines plus conventionnelles pendant quelque 45 heures.

Source : Numberworld 

La course aux décimales de Pi

Les babyloniens vers - 2 000, les égyptiens puis surtout les grecs furent les premiers à proposer des approximations du nombre Pi.
Le célèbre Archimède vers 250 av. J.C. parvient à obtenir deux décimales exactes du rapport magique, puis Ptolémée 3 décimales vers 150, on arrive à 6 décimales avec le mathématicien chinois Zu Chongzhi (429 - 500), 11 avec l'indien MADHAVA de Sangamagrama (1350 - 1425), 14 avec le perse Al-Kachi ou Al-Kashi (vers 1380-1429) et la barre symbolique des cent décimales est atteinte par le mathématicien anglais John MACHIN (1686-1751) à l'aide d'une formule qui porte son nom.

Les méthodes utilisées sont alors assez proche de celle d'Archimède qui utilisait des polygones réguliers inscrits dans un cercle de diamètre 1.

Avec le XVIIIème siècle et le calcul différentiel de Newton et Leibniz, le calcul de π se dégage de la géométrie et utilise des formules analytiques complexes. Par exemple : le quart du nombre π est égal à la somme infinie : 

$${\pi \over 4}=1-{1\over 3}+{1\over 5}-{1\over 7}+{1\over 9}-{1\over 11}+{1\over 13}-\cdots$$

Un grand progrès de cette époque, en Europe, est de considérer de telles sommes d'une infinité de termes et de leur donner un sens. Cela permit au mathématicien suisse (de la république de Mulhouse à l'époque) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) de démontrer en 1761 que π n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire que ce n'est pas le quotient de deux nombres entiers et donc que la suite de ses décimales ne présente pas de périodicité, qu'elle est infinie.

La chasse aux décimales de π est alors vraiment lancée !

Jusqu'à la Seconde Guerre Mondiale, les calculs sont exécutés à la main : le mathématicien anglais W. SHANKS (1812-1882) passa 20 ans de sa vie à calculer, pour publier enfin en 1874, les 707 premières décimales de π. Le mathématicien anglais D. F. Ferguson bat ensuite le record de Shanks en 1946 avec 710 premières décimales de π. Il montre de plus que les décimales données par Shanks étaient fausses à partir de la 528ième !

À partir de 1946 les calculs sont faits à la machine, machines mécaniques de bureau (1 120 décimales en 1948), puis ordinateurs (2 037 décimales en 1949). Les progrès deviennent alors plus rapides : en 1973 Jean Guilloud et Martine Bouyer publient un million de décimales de π sous la forme d'un livre de 450 pages. En 1989 le milliard de décimales est atteint par les frères David et Gregory Chudnovsky qui se livrent à une course effrénée avec Yasumada Kanada qui finit par les battre avec 1 200 milliards de décimales en 2002. Record qui lui aussi sera battu ... par des japonais dès 2009.

Le dernier record en date est de plus de 60 000 milliards de décimales !!

A quoi ça sert ?

Evidemment, pour la plupart des calculs actuels, une précision de \(\pi\) avec 18 décimales suffit largement.

L’intérêt majeur de cette course est de développer des algorithmes de calcul toujours plus ingénieux afin de tester la fiabilité et la rapidité des ordinateurs par exemple. David Bailey, qui participa à la chasse aux décimales, détecta ainsi en 1988 un bogue dans le superordinateur Cray-2. Dans leur annonce de record, les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru insistent sur les performances du nouveau superordinateur parallèle de leur université.

On recherche aussi en mathématiques pures à savoir si \(\pi\) possède d'autres propriétés particulières.

Les conjectures sur \(\pi\)

Les mathématiciens se demandent encore si :

• si π est un nombre normal, c'est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis. La plupart pensent que ces décimales sont réparties « au hasard » ;
• si π est un nombre univers, ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres.

Ces questions demeurent sans réponse à ce jour même si les recherches actuelles tendent à leur validation !

Au 21^ème siècle.

Au 20^èmesiècle.  

Sources : [Delah2]

Avant le 20^ème siècle. 

Sources :  [Delah2]

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Mis à jour : 14 Mars 2015

Les décimales de Pi.

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• Les 2 400 première décimales de Pi.

3,

141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 674 818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 827 785 771 342 757 789 609 173 637 178 721 468 440 901 224 953 430 146 549 585 371 050 792 279 689 258 923 542 019 956 112 129 021 960 864 034 418 159 813 629 774 771 309 960 518 707 211 349 999 998 372 978 049 951 059 731 732 816 096 318 595 024 459 455 346 908 302 642 522 308 253 344 685 035 261 931 188 171 010 003 137 838 752 886 587 533 208 381 420 617 177 669 147 303 598 253 490 428 755 468 731 159 562 863 882 353 787 593 751 957 781 857 780 532 171 226 806 613 001 927 876 611 195 909 216 420 198 938 095 257 201 065 485 863 278 865 936 153 381 827 968 230 301 952 035 301 852 968 995 773 622 599 413 891 249 721 775 283 479 131 515 574 857 242 454 150 695 950 829 533 116 861 727 855 889 075 098 381 754 637 464 939 319 255 060 400 927 701 671 139 009 848 824 012 858 361 603 563 707 660 104 710 181 942 955 596 198 946 767 837 449 448 255 379 774 726 847 104 047 534 646 208 046 684 259 069 491 293 313 677 028 989 152 104 752 162 056 966 024 058 038 150 193 511 253 382 430 035 587 640 247 496 473 263 914 199 272 604 269 922 796 782 354 781 636 009 341 721 641 219 924 586 315 030 286 182 974 555 706 749 838 505 494 588 586 926 995 690 927 210 797 509 302 955 321 165 344 987 202 755 960 236 480 665 499 119 881 834 797 753 566 369 807 426 542 527 862 551 818 417 574 672 890 977 772 793 800 081 647 060 016 145 249 192 173 217 214 772 350 141 441 973 568 548 161 361 157 352 552 133 475 741 849 468 438 523 323 907 394 143 334 547 762 416 862 518 983 569 485 562 099 219 222 184 272 550 254 256 887 671 790 494 601 653 466 804 988 627 232 791 786 085 784 383 827 967 976 681 454 100 953 883 786 360 950 680 064 225 125 205 117 392 984 896 084 128 488 626 945 604 241 965 285 022 210 661 186 306 744 278 622 039 194 945 047 123 713 786 960 956 364 371 917 287 467 764 657 573 962 413 890 865 832 645 995 813 390 478 027 590 099 465 764 078 951 269 468 398 352 595 709 825 822 620 522 489 407 726 719 478 268 482 601 476 990 902 640 136 394 437 455 305 068 203 496 252 451 749 399 651 431 429 809 190 659 250 937 221 696 461 515 709 858 387 410 597 885 959 772 975 498 930 161 753 928 468 138 268 683 868 942 774 155 991 855 925 245 953 959 431 049 972 524 680 845 987 273 644 695 848 653 836 736 222 626 099 124 608 051 243 884 390 451 244 136 549 762 780 797 715 691 435 997 700 129 616 089 441 694 868 555 848 406 353 422 072 225 828 488 648 158 456 028 50

Compléments.

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• => Histoire du nombre pi.
• => Histoire de la course au record des décimales de pi.

Le nombre pi au Palais de la découverte à paris.

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La salle pi du Palais de la découverte (Paris, France) propose une frise circulaire affichant les 704 premières décimales de π que le mathématicien anglais William SHANKS (1812-1882) calcula « à la main » (soit sans calculatrice ni ordinateur) en 1873.

Malheureusement, seuls 527 chiffres étaient corrects. L'erreur de calcul de Shanks a été découvert par le mathématicien anglais Ferguson en 1945. Le musée a immédiatement corrigé cette erreur, donc, contrairement à la rumeur, aujourd'hui, il n'y a plus d'erreur dans les décimales affichées.

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Mis à jour : 6 Juin 2018

Historique de la recherche du plus grand nombre premier

Le record du plus grand nombre premier connu a presque toujours été un nombre premier de Mersenne donc de la forme

 $$M_n = 2^n - 1$$

• M(n) ou Mn, désigne le n^ième nombre premier de Mersenne.
• Par contre M indice n, M_n , n est le rang du nombre de Mersenne.

Une utilisation des nombres premiers

Les nombres premiers sont étudiés depuis l'antiquité (voir l'article nombres premiers, toute une histoire) et sont utilisés aujourd'hui dans la plupart des systèmes de cryptographie (internet, bancaires, militaires). La recherche sur leurs propriétés est de fait encore très active, et très encadrée.

La plupart des systèmes de cryptographie actuels fonctionnent sur le fait qu'il est très long et difficile de trouver la décomposition d'un entier en nombres premiers si ce dernier est très grand (plusieurs centaines de chiffres).
Savoir que 15 se décompose en 3 fois 5 est simple, mais si on vous donne un nombre de 1 000 chiffres, c'est une autre histoire.
Notons toutefois que ces nombres premiers titanesques (de plusieurs millions de chiffres) ne sont pas utilisés pour créer des clés publiques en cryptographie en raison de leur rareté, un hacker voyant une clé à plusieurs millions de chiffres n'aurait pas tant de candidats à tester.

En février 2016, M44 est le plus grand nombre premier de Mersenne pour lequel on sait qu'il n'y a pas d'autre nombre premier de Mersenne plus petit encore inconnu.

$$\large M44= M_{32~582~657}= 2^{32~582~657}- 1$$

Les recherches actuelles proposées par le projet GIMPS, travail collaboratif de milliers d'ordinateurs, ne donnent pas forcemment les nombres dans l'ordre.

Historique : A la recherche des grands nombres premiers

Liste de nombres de Mersenne non premiers

Les neuf plus petits nombres de Mersenne non premiers mais d'indices premiers (venant s'intercaler entre les premiers et neuvième nombres de Mersenne premiers, connus à la fin du XIX^e siècle) sont les suivants :

Great Internet Mersenne Prime Search, ou GIMPS

Le Great Internet Mersenne Prime Search, ou GIMPS, est un projet de calcul partagé où les volontaires utilisent un logiciel client pour chercher les nombres premiers de Mersenne. Cela permet en fait d'utiliser la puissance de calcul de milliers d'ordinateurs simultanément. Le projet a été fondé par George Woltman, qui est aussi le créateur du logiciel de calcul distribué employé. L'algorithme utilisé est le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne.
Ce projet a permis de trouver les quinze plus grands nombres premiers de Mersenne connus.

L'Electronic Frontier Foundation offre des prix de calcul coopératif pour encourager les internautes à contribuer à la résolution de problèmes scientifiques par le calcul distribué. Le GIMPS a ainsi reçu 100 000 dollars pour sa découverte en 2008 du premier nombre premier d'au moins 10 millions de chiffres décimaux. L'EFF offre encore 150 000 et 250 000 dollars respectivement pour la découverte du premier nombre premier de 100 millions et 1 milliard de chiffres décimaux.

Sources.

• Site officiel du projet GIMPS

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Mis à jour : 14 Février 2016

Une liste des nombres premiers inférieurs à 1 000.

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Mis à jour : 12 Septembre 2013

La numération babylonienne.

1. Le contexte Historique : Fabuleuse Babylone.

La ville de Babylone (en akkadien : Bāb-ili(m), en sumérien KÁ.DINGIR.RA, en arabe بابل Bābil, en araméen Babel ) est une ville antique de Mésopotamie située sur le célèbre fleuve Euphrate dans ce qui est aujourd'hui l'Irak. Carte actuelle

A environ 100 km au sud de l'actuelle Bagdad, près de la ville moderne de Hilla. À partir du début du II^ème millénaire av. J.-C., cette cité devient la capitale d'un royaume qui s'étend sur toute la Basse Mésopotamie et même au-delà. Elle connaît son apogée au VI^ème siècle av. J.-C. durant le règne de Nabuchodonosor II qui dirige alors un empire dominant une vaste partie du Moyen-Orient. Il s'agit à cette époque d'une des plus vastes cités au monde

La numération que forgèrent les mathématiciens et astronomes de Babylone un peu avant l'époque du roi Hammourabi (environ 1792-1750 av.J.-C.) était une numération de position en base 60.

Le roi Hammurabi de Babylone face au dieu Shamash, détail de la stèle du Code d'Hammourabi, 17e siècle av. J.-C.
(Musée du Louvre, Paris, France)

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2. Une numération de position en base 60 (à l'aide de clous et de chevrons).

Les scribes babyloniens n'utilisaient que deux chiffres à proprement parler : un "clou" vertical représentant l'unité et un "chevron" associé au nombre 10.
Ces signes ont une graphie dite cunéiforme en raison de son aspect en forme de coins et de clous.
Les nombres de 1 à 59 étaient représentés d'une manière additive en répétant chacun de ces deux signes.

• Le 1 et le 10.

1et 10

• 19 s'écrivait : 1 chevron + 9 clous.

Au-delà de 59, l'écriture devenait positionnelle.

• Le nombre 69 par exemple s'écrivait : 69 = 1×60 + 9.

• Voici une tablette d'argile (2 400 ans av. J.-C.) en écriture cunéiforme où figurent clous et chevrons qui serons les chiffres de cette numération.

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3. Le premier zéro ?

Ils conçurent par la suite ( au 3e siècle av.J.-C.) un signe se présentant comme un double chevron incliné. Ce signe de séparation dans l'écriture des nombres est un véritable chiffre zéro dont l'utilisation était rendue obligatoire du fait de la structure du système de numération de position.
C'est le plus vieux zéro de l'histoire.

En effet, il fallait par exemple pouvoir différencier : 

Le 2   de 61 = 60×1 + 1      

Pendant très longtemps, les scribes les différencièrent en séparant nettement le premier clou du second, puis, ils introduisirent le signe :

 ou 

Cependant, ce zéro n'est pas conçu par les babyloniens comme une quantité.

Par exemple, dans un texte de l'époque, l'auteur ne sachant pas exprimer le résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, avait ainsi formulé sa conclusion :

"20 moins 20......tu vois."

Et dans un autre texte, on trouve par le résultat d'une distribution de grain :

"le grain est épuisé".

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4. Les fractions dans la numération babylonienne.

=> Histoire des fractions.

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Mis à jour : 23 Mai 2014

Nombre de Bell (ou nombre exponentiel)

Définition. [HaSu]p27
Pour tout entier naturel n on appelle nombre de Bell ou nombre exponentiel, le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments. 
Une partition d'un ensemble E est par définition un ensemble de parties non vides et disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à l'ensemble E.
Ainsi si B_n désigne le nombre de partitions d'un ensemble ayant n éléments on a :

B₀ = 1 ; B₁ = 1 ; B₂ = 2 ; B₃ = 5 ; B₄ = 15 ; B₅ = 52 ; B₆ = 203 ... (Sloane's A000110)

Histoire.

L' écossais Eric Temple Bell (né le 7 février 1883 à Peterhead, Écosse et mort le 21 décembre 1960 à Watsonville, États-Unis) s'installe en 1903 aux États-Unis.
Il y poursuivit ses études commencées en Angleterre et obtient son doctorat en 1912 à l'université de Columbia sur un sujet concernant les polynômes cyclotomiques de degré 5.

La théorie des nombres sera l'objet principal de ses travaux, en particulier Algebraic Arithmetic (1927) où il introduit les nombres qui portent aujourd'hui son nom.

Cependant, le professeur B. C. Berndt (en Jan. 2010) de l'université de l'Illinois (USA), précise que la première véritable étude de ces nombres fut effectuée par le mathématiciens indien Ramanujan (22 décembre 1887 – 26 avril 1920) dans le chapitre 3 de son second livre, environ 25 ans avant Bell.

Propriété.

Le nombres de Bell vérifient la relation : 

Démonstration.

Soit {b₁, b₂, ..., b_n} un ensemble de n éléments à qui l'on adjoint un nouvel élément x : B = {b₁, b₂, ..., b_n} U {x}. Dans chaque partition de B, il existe une unique partie A contenant x. 

• Si Card A = 1, alors A = {x} et pour obtenir une partition de B, on complète par toutes les partitions de {b₁, b₂, ..., b_n}. Il y a donc B_n partitions de ce type.
• Si Card A = n, alors A = B = {b₁, b₂, ..., b_n, x}. Cette partition est unique.
• Si Card A = k, 1≤ k ≤ n - 1. 
  A est de la forme {x, b_j1, b_j2, ..., b_jn} où les j₁, j₂, ..., j_k sont distincts et compris entre 1 et n.
  Il y a autant de parties A de cette forme que de choix de k éléments parmi n, soit C_n^k possibilités. 
  Mais chaque partie ainsi construite doit être complétée pour obtenir une partition de B. Il reste n - k éléments constituant une partie F de B dont il s'agit de dénombrer toutes les partitions que l'on réunira à A. On peut donc associer à chacune des C_n^k possibilités, B_n-k partitions. 
  Il y a donc C_n^k B_n-k partitions contenant A.
• On a donc au total :

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Mis à jour : 14 Février 2016

Les nombres premiers sont étudiés depuis la naissance même des mathématiques.

Fascinants et mystérieux, ils nous réservent encore bien des secrets.

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Mis à jour : 4 Septembre 2012

Les Nombres Parfaits.

Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs propres. Ces nombre mythiques sont déjà étudiés par la Fraternité pythagoricienne.

• 6 est parfait car 6 = 1+2+3
• ainsi que 28 car 28 = 1+2+4+7+14

Dans "la cité de Dieu", Saint Augustin (354 - 430, Algérie) avançait que Dieu, bien qu'il eut pu créer le monde en un instant, avait décidé de lui consacrer 6 jours car :

 "6 est un nombre parfait en lui-même et non pas parce que Dieu a créé toutes les choses en 6 jours".

Quelques propriétés.

• PYTHAGORE de Samos (6^èmeav. J.-C.) observa que les nombres parfaits sont toujours la somme d'une série arithmétique.

  6       = 1+2+3 
  28     = 1+2+3+4+5+6+7 
  496    = 1+2+3+...+30+31
  8 128 = 1+2+3+...+126+127

• Euclide (4^ème siècle av. J.-C.) dans le Livre IX de ses Éléments, démontrait que :
  si M = 2^p - 1 est un nombre premier, alors  2^p-1(2^p - 1) est un nombre parfait.
  
  6         = 2 (2² - 1) 
  28       = 2² (2³ - 1) 
  496     = 2⁴ (2⁵ - 1)  
  8 128  = 2⁶ (2⁷ - 1)
  
  
• Le suisse Leonhard Euler (18^ème siècle), a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide soit 2^p-1(2^p - 1).
  
  
• La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2^p − 1).
  
  

A la recherche des nombres parfaits.

Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité.
Il est impressionnant de constater qu'en plus de 2 000 ans de recherche, ce total n'est passé qu'à 47.

Les nombres parfaits connus sont les 47 nombres de Mersenne premiers.
Cependant, à partir du 41^ème, on ne sait pas s'il y a des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts.

Les douze premiers nombres parfaits sont :

• P₁ = 6 = 1 + 2 + 3
  
  
• P₂ = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  
  
• P₃ = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
  
  
• P₄ = 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
  
  
• P₅ = 33 550 336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + 4 096 + 8 191 + 16 382 + 32 764 + 65 528 + 131 056 + 262 112 + 524 224 + 1 048 448 + 2 096 896 + 4 193 792 + 8 387 584 + 16 775 168
  
  
• P₆ = 8 589 869 056 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131071 + 262142 + 524284 + 1048568 + 2097136 + 4194272 + 8388544 + 16777088 + 33554176 + 67108352 + 134216704 + 268433408 + 536866816 + 1073733632 + 2147467264 + 4294934528
  
  
• P₇ = 137 438 691 328 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131072 + 262144 + 524287 + 1048574 + 2097148 + 4194296 + 8388592 + 16777184 + 33554368 + 67108736 + 134217472 + 268434944 + 536869888 + 1073739776 + 2147479552 + 4294959104 + 8589918208 + 17179836416 + 34359672832 + 68719345664
  
  
• P₈ = 2 305 843 008 139 952 128
  
  
• P₉ = 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
  
  
• P₁₀ = 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
  
  
• P₁₁ = 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
  
  
• P₁₂ = 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128