La numération grecque : systèmes attique, ionique et calculs antiques
Dans la tradition grecque, la logistique désigne l'art de compter et de calculer. Elle se distingue de l'arithmétique, davantage tournée vers l'étude théorique des nombres, par exemple celle des nombres premiers.
Le système attique
Le système attique, aussi appelé système acrophonique, est attesté à Athènes dès le Ve siècle av. J.-C. Il s'agit d'un système décimal et additif : les nombres sont écrits en additionnant des signes de valeur connue.
On parle de système acrophonique, car plusieurs signes proviennent de la première lettre du mot grec désignant le nombre correspondant.
| Signe | Valeur | Mot grec associé | Idée |
|---|---|---|---|
| Ι | 1 | - | Un trait, répété pour écrire 1, 2, 3 ou 4. |
| Π | 5 | pente | Première lettre du mot grec signifiant cinq. |
| Δ | 10 | deka | Première lettre du mot grec signifiant dix. |
| Η | 100 | hekaton | Première lettre d'une forme ancienne du mot grec signifiant cent. |
| Χ | 1 000 | chilioi | Première lettre du mot grec signifiant mille. |
| Μ | 10 000 | myrioi | La myriade, c'est-à-dire dix mille. |
Les nombres se construisent ensuite par combinaison des signes.
- \(ΠΙ = 6\), car \(5 + 1 = 6\).
- \(ΠΙΙ = 7\), car \(5 + 2 = 7\).
- \(ΠΙΙΙ = 8\), car \(5 + 3 = 8\).
- \(ΠΙΙΙΙ = 9\), car \(5 + 4 = 9\).
Pour les multiples de 5 par une puissance de 10, les Grecs utilisaient aussi des signes composés.
| Écriture attique | Valeur | Explication |
|---|---|---|
 |
50 | On combine le signe de 5 et celui de 10 : \(5\times 10=50\). |
 |
500 | On combine le signe de 5 et celui de 100 : \(5\times 100=500\). |
 |
5 000 | On combine le signe de 5 et celui de 1 000 : \(5\times 1\,000=5\,000\). |
 |
50 000 | On combine le signe de 5 et celui de 10 000 : \(5\times 10\,000=50\,000\). |
Ce système attique fut progressivement remplacé par le système ionique, plus compact pour écrire les nombres.
Le système ionique
Le système ionique, ou système alphabétique grec, se généralise notamment à l'époque hellénistique. Il associe des valeurs numériques aux lettres de l'alphabet grec. Comme dans la numération hébraïque, une lettre peut donc être utilisée comme un nombre.
Le principe repose sur trois séries : les unités, les dizaines et les centaines. Les 24 lettres de l'alphabet grec ne suffisant pas pour écrire toutes les valeurs de 1 à 900, trois signes anciens sont également utilisés : le stigma ou digamma pour 6, le qoppa pour 90 et le sampi pour 900.
| Unités | Valeur | Dizaines | Valeur | Centaines | Valeur |
|---|---|---|---|---|---|
| Α / α, alpha | 1 | Ι / ι, iota | 10 | Ρ / ρ, rhô | 100 |
| Β / β, bêta | 2 | Κ / κ, kappa | 20 | Σ / σ, sigma | 200 |
| Γ / γ, gamma | 3 | Λ / λ, lambda | 30 | Τ / τ, tau | 300 |
| Δ / δ, delta | 4 | Μ / μ, mu | 40 | Υ / υ, upsilon | 400 |
| Ε / ε, epsilon | 5 | Ν / ν, nu | 50 | Φ / φ, phi | 500 |
| Ϛ / ϛ, stigma | 6 | Ξ / ξ, xi | 60 | Χ / χ, chi | 600 |
| Ζ / ζ, zêta | 7 | Ο / ο, omicron | 70 | Ψ / ψ, psi | 700 |
| Η / η, êta | 8 | Π / π, pi | 80 | Ω / ω, oméga | 800 |
| Θ / θ, thêta | 9 | Ϟ / ϟ, qoppa | 90 | Ϡ / ϡ, sampi | 900 |
Pour éviter de confondre les lettres ordinaires et les lettres utilisées comme nombres, on pouvait les accompagner d'un signe distinctif, par exemple une barre ou un accent selon les usages et les époques.
Exemples
- \(\lambda\varepsilon = 35\), car \(\lambda=30\) et \(\varepsilon=5\).
- \(\varphi\mu\beta = 542\), car \(\varphi=500\), \(\mu=40\) et \(\beta=2\).
À retenir. Le système ionique est décimal et additif : pour lire un nombre, on additionne les valeurs des lettres qui le composent.
Les nombres au-delà de 1 000
Pour représenter les nombres de 1 000 à 9 000, les Grecs reprennent les lettres de la classe des unités et leur ajoutent un signe placé en haut à gauche.
Par exemple, \(͵\alpha\) peut désigner 1 000, \(͵\beta\) désigne 2 000, et ainsi de suite jusqu'à 9 000.
On peut alors écrire un nombre comme 1 789 sous la forme :
$$ ͵\alpha\ \psi\ \pi\ \theta $$
On lit alors :
$$ 1\,789 = 1\,000 + 700 + 80 + 9. $$
Des traces de cette numération apparaissent dans des documents papyrologiques, par exemple dans des contrats ou des documents administratifs d'Égypte hellénistique, ainsi que sur certaines monnaies de l'époque ptolémaïque.
La numération d'Archimède
Les mathématiciens grecs ont aussi imaginé des systèmes permettant de penser des nombres extrêmement grands. Le cas le plus célèbre est celui d'Archimède dans son traité L'Arénaire.
Dans ce texte, Archimède cherche à montrer que l'on peut nommer et classer des nombres gigantesques, bien au-delà de ceux utilisés dans la vie courante. Il introduit pour cela une organisation fondée sur les myriades, c'est-à-dire des groupes de dix mille, puis sur les myriades de myriades, c'est-à-dire \(10^8\).
Idée centrale. Archimède ne se contente pas de compter des grains de sable : il construit une méthode pour désigner des nombres d'une taille vertigineuse.
Son système permet de nommer des nombres allant jusqu'à :
$$ 10^{8\times 10^{16}}. $$
Autrement dit, il s'agit d'un 1 suivi de 80 millions de milliards de zéros. Cette formulation est très différente de l'écriture fautive que l'on rencontre parfois sous forme d'un simple entier très long : il s'agit en réalité d'une puissance gigantesque de 10.
Les fractions grecques
La numération grecque permet d'écrire les entiers, mais elle est moins pratique pour représenter les fractions. Comme les Égyptiens, les Grecs utilisent souvent des fractions unitaires, c'est-à-dire des fractions de numérateur 1.
Le dénominateur peut être marqué par un accent placé à droite :
- \(\gamma' = \dfrac{1}{3}\), car \(\gamma=3\).
- \(\varphi' = \dfrac{1}{500}\), car \(\varphi=500\).
- \(\lambda\varepsilon'\) peut se lire \(\dfrac{1}{35}\), puisque \(\lambda\varepsilon=35\).
Certaines écritures peuvent cependant être ambiguës. Selon le contexte, \(\lambda\varepsilon'\) peut aussi être interprété comme \(30+\dfrac{1}{5}\), si l'on sépare \(\lambda\) et \(\varepsilon'\).
La fraction \(\dfrac{1}{2}\) possédait un signe particulier, souvent noté de façon spécifique dans les manuscrits.
Diophante d'Alexandrie
Avec Diophante d'Alexandrie, d'autres notations apparaissent pour les fractions. Dans certains cas, le dénominateur est placé au-dessus du numérateur, à l'inverse de notre convention actuelle.
On peut ainsi rencontrer des écritures anciennes où une quantité comme :
$$ \dfrac{542}{35} $$
est représentée selon un ordre et des marques très différents de notre notation fractionnaire moderne.
Les opérations et l'abaque
Les systèmes grecs d'écriture des nombres sont utiles pour noter les quantités, mais peu pratiques pour effectuer directement des calculs. Pour calculer, les Grecs utilisaient donc des instruments comme l'abaque.
Le mot abaque vient du grec abax, qui désigne une tablette servant à calculer. Le terme sera ensuite latinisé en abacus chez les Romains.
Il pouvait s'agir d'une table recouverte de sable, sur laquelle on écrivait ou dessinait avec un stylet. Les calculs pouvaient ensuite être effacés facilement en lissant la surface.
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Sources et bibliographie
Les références suivantes permettent d'approfondir l'histoire des systèmes de numération antiques et l'évolution de l'écriture des nombres.
- Ifrah, Georges. Les chiffres ou l'histoire d'une grande invention, Robert Laffont, coll. « Bouquins ».
- Guedj, Denis. L'Empire des nombres, Gallimard, coll. « Découvertes Gallimard / Sciences ».
- Dahan-Dalmedico, Amy ; Peiffer, Jeanne. Une histoire des mathématiques : routes et dédales, Éditions du Seuil, Paris, 1986.
- Weisstein, Eric W. « Greek Numerals », MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- Dickinson College Commentaries. « Numeral Notation », présentation des systèmes acrophoniques et alphabétiques grecs.
- Math93. « Archimède », biographie et repères historiques.