Lemme de Riemann - Lebesgue ou Théorème de Riemann
Lemme ou théorème de Riemann. [AuCA] p 429 et p 427 Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment [a;b]. Alors :
Application classique.
Ce lemme permet de montrer que si f est 2pi-périodique, continue par morceaux sur [0;2pi] alors les suites des coefficients de Fourier (an(f)), (bn(f)), (cn(f)), (c-n(f)) convergent vers 0 (quand n →+∞)
Histoire.
Le mathématicien allemand RIEMANN Georg Friedrich Bernhard (1826-1866) présente son mémoire d'habilitation (Habilitationsvortrag) à l'université de Göttingen en 1854. Ce mémoire, Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique ("Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe"), est publié en 1868 par son ami DEDEKIND (1831-1916). Dans ce mémoire il montre, entre autre, que les coefficients de Fourier d'une fonction intégrable tendent vers zéro (Lemme de Riemann - Lebesgue) et donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série trigonométrique ∑(an.cos nx + bn.sin nx) converge lorsque les suite (an) et (bn) convergent vers 0.
Sous certaines conditions, la convergence simple peut aussi entraîner la convergence uniforme, c'est ce que l'on nomme le théorème de DINI.
Théorème de DINI, du nom du mathématicien italien Ulisse DINI (1845 - 1918). [Gour1]p229 et [Hauch2]
Soit (fn) une suite croissante de fonctions réelles continues et définies sur un segment [a ; b] de IR. Si (fn) converge simplement vers une fonction f continue sur [a;b], alors la convergence uniforme.
Soit (fn) une suite de fonctions croissantes réelles, continues et définies sur un segment [a ; b] de IR. Si (fn) converge simplement vers une fonction f continue sur [a;b], alors la convergence uniforme.
Histoire.
C'est au 19ème siècle que la notion de convergence uniforme apparait et que le mathématicien italien Ulisse DINI (1845 - 1918) énonce son théorème que l'on décline souvent en deux parties.
Convergence uniforme : Pour les suites et les séries de fonctions.
Définitions.
On a ici IK = IR ou C, [AuCA] p 264 et p266
Pour les suites de fonctions. La suite de fonctions (fn) converge uniformément sur une partie D de IK vers la fonction f si :
∀ ε > 0 ; ∃ N=N(ε) ∈ IN tel que ∀t ∈D ( n > N ⇒ | fn(t) - f(t) | < ε )
ou encore si :
lim sup t ∈D | fn(t) - f(t) | = 0 ou avec la norme sup : lim || fn(t) - f(t) ||∞ = 0
Remarque : La place des quantificateurs est essentiel et marque la différence avec la convergence simple. Ici N = N(ε) ne dépend que de ε (et pas de t). On peut rapeller que la convergence simple de (fn) vers la fonction f se traduit par : ∀t ∈D, ∀ ε > 0 ; ∃ N=N(ε,t) ∈ IN tel que ( n > N ⇒ | fn(t) - f(t) | < ε )
Pour les série de fonctions. La définition est la même en prenant fn(t) = Sn(t), la somme partielle : Sn(t) = u0(t) + ... + un(t), Rn(t) = Sn(t) - S(t) représente alors le reste de la série (au signe près).
On peut aussi utiliser le critère de CAUCHY uniforme :
La suite (Sn) cv uniformément sur D ssi elle vérifie le critère de Cauchy uniforme soit :
∀ ε > 0 ; ∃ N(ε) ∈ IN tel que ∀n > N(ε) ∀p ∈ IN on a || Sn(t) - S(t) || ∞ < ε
Histoire. [Dieudo] p 254
Le terme convergence uniforme. En 1838, le mathématicien allemand GUDERMANN Christophe (1798-1852), le professeur de WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897), publie un article dans le Journal de Crelle dans lequel il utilise la notion et le mot de convergence uniforme (im ganzen gleichen Grad).
Ce terme sera plus tard repris par WEIERSTRASS dans ses cours. Dans un article écrit en 1841 et publié en 1894, WEIERSTRASS définit rigoureusement la notion de convergence uniforme d'une série. Parallèlement, vers 1847, les mathématiciens SEIDEL Philipp Ludwig von (1821-1896) et STOKES Sir George Gabriel (1819-1903) introduisent eux aussi une notion assez proche. Les spécialistes s'accordent cependant à dire que leurs travaux dans ce domaine n'eurent pas d'influences sur les autres scientifiques. Dans son mémoire de 1853, le français Cauchy introduisit pour la première fois une notion rigoureuse de convergence uniforme (mais il ne la qualifie pas d'uniforme). Il utilise pour cela ce que l'on appelle maintenant le critère de Cauchy uniforme.
Intégrabilité. C'est cependant l'allemand WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897) qui le premier énoncera et démontrera les théorème d'intégrabilité et de continuité de la somme d'une série de fonction. Dans son cours inédit de 1861, il définit la convergence uniforme (Konvergenz in gleichen Grad) à l'aide du critère de Cauchy et démontre que si la série de fonctions continues converge uniformément sur [a;b], alors sa somme est une fonction continue dans [a;b]. Sa démonstration est très proche de celle que l'on propose aujourd'hui.
Continuité. Après l'introduction de la convergence uniforme et la mise en évidence du transport de la propriété de continuité, les mathématiciens du 19ème siècle se sont interrogés sur la réciproque :
Si la limite d'une suite de fonctions continues est continues, la convergence est-elle uniforme ?
Beaucoup pensent l'avoir démontré mais, en 1880, le célèbre mathématicien Georg CANTOR (1845-1918) met tout le monde d'accord en exhibant un contre-exemple resté célèbre.
Compléments sur la convergence uniforme.
1. Lien avec la convergence simple. La convergence uniforme implique la convergence simple mais la réciproque est évidement fausse.
Contre-exemple : fn(x)=1/[1 + (x - n)²] [Hauch2] De façon évidente, cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle. Par contre on a : ∀x∈IR, |fn(x) - 0| ≤ 1 et fn(n) = 1 donc || fn(t) - f(t) ||∞ = 1. Il n'y a donc pas convergence uniforme.
Illustration : Voici les courbes représentatives des fonctions fnpour n de 0 à 10.
2. Condition pour que la convergence simple entraine la convergence uniforme. Sous certaines conditions, la convergence simple peut aussi entrainer la convergence uniforme, c'est ce que l'on nomme le théorème de DINI.
Soit (fn) une suite croissante de fonctions réelles continues et définies sur un segment [a ; b] de IR. Si (fn) converge simplement vers une fonction f continue sur [a;b], alors la convergence est uniforme.
Soit (fn) une suite de fonctions croissantes réelles,continues et définies sur un segment [a ; b] de IR. Si (fn) converge simplement vers une fonction f continue sur [a;b], alors la convergence est uniforme.
3. Continuité et convergence uniforme. La convergence uniforme permet, sous certaines conditions de "transporter" certaines propriétés de la suite à sa limite.
Continuité. Soit (fn), convergent uniformement sur D vers une fonction f. Si chaque fonction fn est continue en un point a de D (respectivement sur D), alors sa limite f est aussi continue en a (respectivement sur D).
Exemple de limite non continue pour une suite continue : Les fonctions continues fn en vert définies par fn(x) = sinn(x) convergent vers la fonction discontinue f en rouge mais la convergence n'est pas uniforme.
Exemple de limite continue pour une suite de fonctions continues mais sans convergence uniforme : [Hauch2]p236 Après l'introduction de la convergence uniforme et la mise en évidence du transport de la propriété de continuité, les mathématiciens du 19ème siècle se sont interrogés sur la réciproque :
Si la limite d'une suite de fonctions continues est continues, la convergence est-elle uniforme ?
Beaucoup pensent l'avoir démontré mais, en 1880, le célèbre mathématicien Georg CANTOR (1845-1918) met tout le monde d'accord en exhibant un contre-exemple resté célèbre.
On montre facilement que la suite (fn) tend vers la fonction nulle pour tout x de [0;+∞[ qui est continue.
Par contre il n'y a pas de convergence uniforme. Pour tout entier n ≥ 1, fn(1/n) = 1. De ce fait pour x de [0;+∞[, la borme supérieure de | fn(x) - 0| est supérieure ou égale à 1 : || fn(x) - 0 ||∞ ≥ 1. La convergence n'est donc pas uniforme.
Le théorème dit des lunules d'HIPPOCRATE, très ancien, a été démontré par le mathématicien grec HIPPOCRATE de Chios, né à Chios vers 470 av. J.-C. et mort vers 410 av. J.-C.
HIPPOCRATE de Chios cherche à résoudre la quadrature du cercle qui consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas. Ce problème de quadrature est un des 3 grands problèmes de l'antiquité et il a dérouté les mathématiciens les plus prestigieux pendant près de 2 000 ans !
On sait seulement depuis 1882, grace au mathématicien allemand Ferdinand von LINDEMANN, qu'elle est impossible à réaliser en un nombre fini de constructions à la règle et au compas.
Pour cela il introduit des lunules, parties comprises entre deux arcs de cercles de rayons différents. Il calcule alors l'aire de certaines d'entre elles et énonce le théorème dit théorème des deux lunules que l'on peut résumer ainsi :
La somme des aires des 2 lunules L1 et L2est égale à l'aire du triangle ABC.
Pour être plus précis :
On considère le triangle ABC rectangle en A et C' le demi-disque de diamètre [BC] passant par le point A.
La lunule L1 est la figure formée par le demi-disque de diamètre [AC] extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par C'.
La lunule L2 est la figure formée par le demi-disque de diamètre [AB] extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par C'.
Démonstration.
Notons Aire(ABC) l'aire du triangle ABC, P1 et P2 l'aire des partie blanches entre les lunules et les segments, et L1, L2 les aires des lunules.
Tout d'abord remarquons que l'aire du demi-disque de diamètre [BC] soit πBC²/8, est aussi égal à P1 + P2 + A. Donc : P1 + P2 + Aire(ABC) = πBC²/8 Soit la relation (R1) : P1 + P2 = πBC²/8 - Aire(ABC)
De plus :
Aire du demi-disque de diamètre [AC] soit πAC²/8 est aussi égal à L1 + P1. L1 + P1 = πAC²/8
Aire du demi-disque de diamètre [AB] soit πAB²/8 est aussi égal à L2 + P2. L2 + P2 = πAB²/8
Et donc en sommant les deux : L1 + L2+ P1 + P2 = πAC²/8 + πAB²/8
Il suffit donc de remplacer P1 + P2parπBC²/8 - Aire(ABC)en utilisant la relation (R1) pour obtenir : L1 + L2+ πBC²/8 - Aire(ABC) = πAC²/8 + πAB²/8
Soit
L1 + L2 = πAC²/8 + πAB²/8 - πBC²/8 + Aire(ABC)
et par factorisation par (π/8) L1 + L2= (π/8) (AC² + AB² - BC² ) + Aire(ABC)
Or le triangle ABC est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore on a : BC² = AB² + AC² soit AC² + AB² - BC² = 0
On vient donc de démontrer que : L1 + L2 = 0 + Aire(ABC) = Aire(ABC)
La somme des aires des 2 lunules L1 et L2 est égale à l'aire du triangle ABC.
Sources.
[HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
Le triangle arithmétique de Pascal est le triangle dont la ligne d'indice n (n = 0, 1, 2...) donne les coefficients binomiaux \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix}\) pour p = 0, 1, 2..., n.
Deux notations coéxistent pour ces coefficients et sont préconisées par la norme ISO/CEI 80000-2: la première est celle du « coefficient binomial » et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition » .
Histoire du triangle de Pascal et des coefficients binomiaux
La plus ancienne illustration existante du «triangle de Pascal» est due mathématicien chinois YANG Hui (1238 – 1298) dans son livre Xiangjie Suanfa Jiuzhang (详解 九章 算法) de 1261. Yang y expose sa méthode de recherche des racines carrées et des racines cubiques en utilisant le triangle tout en précisant :
« ma méthode pour extraire les racines carrée et cubique est basée sur la méthode de Jia Xian présentée dans le Shi Suo Suan Shu »
C'est en efffet au mathématicien JIA Xian (1010 - 1070) que l'on doit la plus ancienne utilisation de ce triangle arithmétique, en 1100, dans son livre (aujourd'hui perdu) connu sous le nom de Shi Suo Suan Shu.
En 1303, on retrouve aussi ce triangle de Pascal chez le mathématicien chinois ZHU Shijie (1260-1320) dans le "Miroir de jade des quatre inconnues".
Par la suite, le mathématicien perse AL-KASHI (né vers 1380, Kashan (Iran) - mort en 1429, Samarcande (Ouzbékistan)) l'utilise vers 1400.
Son nom reste pourtant lié au célèbre mathématicien français PASCAL Blaise (1623 - 1662), car il en propose une étude détaillée en 1653.
Le triangle de Pascal dans le "Miroir de jade des quatre inconnues" de ZHU Shijie (1260-1320). Publié plus de 3 siècles avant les oeuvres du français.
La notation des coefficients binomiaux
C'est le mathématicien et physicien autrichien Andreas von Ettingshausen qui le premier introduit la notation \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} \) en 1826.
Ces coefficients sont déjà étudiés au début du 10e siècle par les mathématiciens indiens et vers 1150, le mathématicien Bhaskaracharya en donne une description dans son ouvrage Līlāvatī.
C'est coefficienten en
Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
1. Coefficients du développement de (a + b)n
Pour \(a\) et \(b\) des réels (ou complexes) et \(n\) un entier naturel. Les nombres \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} \) sont en fait les coefficients du développement de \((a+b)^n\).
Le produit vectoriel prend naissance avec "l'invention" des quaternions en 1843, par le mathématicien irlandais HAMILTON William Rowan (1805-1865). Le mathématicien américain GIBBS Josiah Willard (New Haven 1839 - 1903) simplifie cet outil et définit le produit scalaire et le produit vectoriel dans une théorie appelée l'analyse vectoriel.
Parallèlement à l'américain GIBBS, le mathématicien anglais HEAVISIDE Oliver (1850-1925) introduit l'analyse vectorielle. Trouvant malcommode l'utilisation des quaternions en physique, il sépare du produit de 2 quaternions purs, la partie réelle et la partie vectorielle. Cela donnera au signe près le produit scalaire et le produit vectoriel.
L'approche du mathématicien allemand GRASSMANN Hermann (1809-1877) est elle plus géométrique. En 1844, GRASSMANN expose dans Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematikpropose l'introduction des notions fondamentales d'algèbre linéaire. GRASSMANN développe ainsi la notion de produit extérieur (produit vectoriel) et invente l'algèbre extérieure. Son idée est d'étendre le calcul des vecteurs à des grandeurs orientées de dimension quelconque. Il considère alors un produit extérieur (maintenant vectoriel) de deux vecteurs comme l'aire orientée du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs. Il définit alors la linéarité de ce produit et généralise son produit de 2 vecteurs à celui de p-vecteurs considéré comme le volume orienté à p dimensions du parallélotope construit sur ces vecteurs. Il se heurte à des difficultés lorsqu'il veut additionner ces p-vecteurs.
En 1862, GRASSMANN il adopte le point de vue de HAMILTON. Il part alors d'une base (e1,..,en) de IRn et définit son produit extérieur d'abord sur les ei puis l'étend aux vecteurs par linéarité.
Cette algèbre extérieure restera tout de même confidentielle jusqu'aux travaux des mathématiciens français POINCARÉ Jules Henri (1854-1912) et de CARTAN Elie Joseph (1869-1951) en géométrie différentielle.
Cours.
Définition du Produit vectoriel dans E espace euclidien de dimension 3.
Propriétés.
Produit mixte. (Généralisable dans un ev de dimension n).
Généralisation du produit vectoriel.
Propriétés différentielles et de continuité.
1°) Définition du Produit vectoriel dans E espace euclidien de dimension 3.
Dans une base orthonormée
Remarque : Notez la permutation circulaire permettant de passer d'une ligne à l'autre !
2°) Propriétés.
L’application produit vectoriel est bilinéaire et antisymétrique
La famille (u,v) est liée ⇔
L’aire du parallélogramme construit sur u et vest égale à :
Double produit vectoriel : (attention, il faut que les coordonnées des vecteurs commutent !)
Identité de Jacobi : du mathématicien allemand JACOBI Carl Gustav Jacob (1804-1851)
3°) Produit mixte. (Généralisable dans un ev de dimension n)
L’application produit mixte est antisymétrique et trilinéaire.
Théorème de Hadamard :
Avec égalité si l’un des vecteurs est nul ou si (u,v,w ) est une BON .
4°) Généralisation du produit vectoriel. [Ladeg p 125]
Pour tout couple de vecteurs (u,v) de l’espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, Il existe un unique vecteur V tel que pour tout vecteur w , on a :
.
Ce vecteur V est appelé produit vectoriel de u et v.
Remarque : Cette définition est généralisable en dimension n pour n - 1 vecteur (n>2)
5°) Propriétés différentielles et de continuité.
5.a : Continuité des applications multilinéaires en dimension finie.
Théorème. [Monier2p68]
Soit pour k entier, Ek et F des IK-ev. Si les Ek sont de dimensions finies, alors toute application multilinéaire de ∏Ek dans F est continue.
Conséquences : Pour E de dimension finie.
Pour y fixé, l’application de E → IK qui : x → < x , y > est continue (car linéaire).
Pour y fixé, l’application de E → E qui : x → est continue (car lineaire).
Les applications normes, produit scalaire, produit mixte et produit vectoriel sont continues.
5.b : Dérivée et différentielle.
Fonctions bilinéaires : [SoroAn]p354
(f bilinéaire de IRp × IRn dans F ) ⇒ ( f est différentiable) et
Conséquences.
Le produit scalaire et le produit vectoriel sont différentiables et :
Histoire. [Gour2] p 94 et [Audi]p159 p 163 et [EU]
Le mathématicien irlandais HAMILTON William Rowan (1805-1865) découvre en 1843, le premier corps non commutatif, le corps des quaternions.
Il introduit alors le germe du produit scalaire. Le mathématicien américain GIBBS Josiah Willard ( New Haven 1839 - 1903) simplifie cet outil et définit le produit scalaire et le produit vectoriel dans une théorie appelée l'analyse vectoriel.
Parallèlement à l'américain GIBBS, le mathématicien anglais HEAVISIDE Oliver (1850-1925) introduit l'analyse vectorielle. Trouvant malcommode l'utilisation des quaternions en physique, il sépare du produit de 2 quaternions purs, la partie réelle et la partie vectorielle. Cela donnera au signe près le produit scalaire et le produit vectoriel.
Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) le définit ensuite associé à un calcul d'aire ou de déterminant. Roberto Marcolongo et Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus d'un angle et lui donne le nom de produit intérieur ou produit scalaire.
GIBBS utilise le premier le point pour le produit scalaire et × pour le produit de vecteurs en 1902 dans Vector Analysis. (⇒ symboles)
JORDAN Camille Marie Ennemond (1838-1922), mathématicien français définit le produit scalaire à l'aide d'une forme bilinéaire symétrique définie positive. [HaSu] p185
Le mathématicien allemand HILBERT David (1862-1943) généralise au début du 20ème siècle la notion de produit scalaire à des espaces de suites. [HaSu] p171
Cours : le produit scalaire
Produit scalaire dans l'espace.
Produit scalaire dans E, un IR espace vectoriel.
Produit scalaire dans E un ℂ espace vectoriel.
Propriétés.
Propriétés différentielles et de continuité.
1 - Produit scalaire dans l’espace IR3
2 - Produit scalaire dans E, un ℝ espace vectoriel.
On appelle produit scalaire sur E toute application φ : E² → IR telle que : pour tout vecteurs x, y et y’ de E et k un réel.
On dit qu’un produit scalaire sur un ℝ-ev est une forme bilinéaire, symétrique et définie positive.
3 - Produit scalaire dans E un ℂ espace vectoriel.
On appelle produit scalaire sur E une application φ : E² → C ayant les même propriétés que sur IR sauf la première a) qui devient :
Attention, dans ce cas φ n’est pas linéaire par rapport à la 1ère place, elle est dite semi-linéaire par rapport à la 1ère place car on a :
4 – Propriétés.
4.a : Un espace préhilbertien réel (resp. complexe) est défini par le couple (E,φ).
Un espace euclidien (resp. hermitien) est un espace préhilbertien réel (resp. complexe) de dimension finie.
4.a : L'inégalité de CAUCHY-SCHWARZ (voir compléments sur cette inégalité)
Soit (E, φ) un espace préhilbertien, pour tout (x;y) de E² ; on a :
Que l'on peut aussi écrire :
Avec égalité ssi les deux vecteurs sont liés (ou colinéaires).
4.c : L'inégalité de MINKOWSKI (voir compléments sur cette inégalité)
Soit (E, φ) un espace préhilbertien, Φ la forme quadratique associée au produit scalaire φ; on a :
Que l'on peut écrire aussi :
Cas d’égalité : [Ladeg]p92
ssi l’un des deux vecteurs est nul ou si ils sont colinéaires de sens opposé.
ssi l’un des deux vecteurs est nul ou si ils sont colinéaires de même sens.
5 - Propriétés différentielles et de continuité.
5.a : Continuité des applications multilinéaires en dimension finie.
Théorème. [Monier2p68]
Soit pour k entier, Ek et F des IK-ev. Si les Ek sont de dimensions finies, alors toute application multilinéaire de ∏Ek dans F est continue.
Conséquences : Pour E de dimension finie.
Pour y fixé, l’application de E → IK qui : x → < x , y > est continue (car linéaire).
Pour y fixé, l’application de E → E qui : x → est continue (car lineaire).
Les applications normes, produit scalaire, produit mixte et produit vectoriel sont continues.
5.b : Dérivée et différentielle.Fonctions bilinéaires : [SoroAn]p354
f bilinéaire de IRp × IRn dans F ⇒ f est différentiable et
Conséquences
Le produit scalaire et le produit vectoriel sont différentiables et :
Bien qu' Euclide (IIIe av. JC) dans le livre IX des Éléments, propose une ébauche de ce théorème, ce n'est qu'au 19e siècle qu'une démonstration rigoureuse est proposée. Euclide est assez proche de l'énoncé de ce théorème. Cependant, faute d'une terminologie et de notations adaptées pour les puissances d'un nombre entier et pour les produit, il ne peut poursuivre.
On a tout de même plusieurs témoignages qui semblent attester la connaissance de cette décomposition chez les anciens.
C'est en 1801 que Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) publie au début de ses "Disquisitiones arithmeticae" (Recherches arithmétiques) une démonstration rigoureuse du théorème de décomposition.
Notons que quelques historiens "euclidiomaniacs" vont jusqu'à affirmer qu'Euclide propose une démonstartion de ce théorème dans les "Éléments". [Delah1] p 141
Le théorème fondamentale de l'arithmétique.
Théorème fondamentale de l'arithmétique.
Tout nombre entier naturel n > 1 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette représentation est unique, à l'ordre des facteurs premiers près. Soit en d'autres termes :
n = q1a1 × q2a2 × q3a3 × ..... × qrar ; avec les qi premiers distincts et les ai entiers positifs.
Bibliographie.
[Delah1] : Jean-Paul DELAHAYE, Merveilleux nombres premiers , Belin-Pour la science, Paris, 2000.
Ces polynômes sont en fait une suite de polynômes qui peuvent selon le cas prendre le nom de polynôme de LEGENDRE, TCHEBICHEV, JACOBI, LAGUERRE, LAGUERRE généralisée, HERMITE.
Approche générale .
Définition : [ElJai] p102
Etant donnée une fonction g positive et intégrable sur [a;b], on appelle suite de polynômes orthogonaux sur [a;b] par rapport à la fonction poids g, une suite de polynômes (Pn), avec d°Pn= n, telle que :
Remarque : Cette relation d'orthogonalité définit un produit scalaire noté ( . , . ). La norme associée étant :
Ces polynômes sont définis à une constante près, que l'on choisie souvent telle que ||Pn||² = 1.
Polynômes orthogonaux particuliers. [ElJai] p108
Polynôme de LEGENDRE : Pn.
On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = 1
Polynôme de TCHEBYCHEV : Tn.
On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = ( 1 - X² ) - 1/2
Polynôme de JACOBI : Pn α, β .
On prend [a ; b] = [-1 ; 1] et g(x) = (1 - x)α (1 + x)β
Polynôme de LAGUERRE :
Ln. On prend [a ; b] = [0 ; + ∞] et g(x) = e - x
Polynôme de LAGUERRE généralisé:
Lnα. On prend [a ; b] = [0 ; + ∞[ et g(x) = x α. e - x
.
est continue (car lineaire).
