Détails: Mis à jour : 13 Septembre 2016

Le crible d'Ératosthène (IIIe av. JC).

La façon la plus simple de trouver des nombre premiers est un algorithme appelé, crible d'Eratosthène (IIIe av. JC).

ÉRATOSTHÈNE de Cyrène est un astronome, géographe et mathématicien, nommé à la tête de la bibliothèque d'Alexandrie, il est resté célèbre pour son crible et pour avoir le premier mesuré le méridien terrestre.

C'est le mathématicien norvégien Brun Vigo (1885 - 1978) qui introduit en 1919 la première étude théorique du crible d'Eratosthène, et en crée un raffinement appelé crible de Brun.

1. Le crible.

L'idée est simple.
Pour obtenir les nombres premiers inférieurs à $n$ :

Écrire tous les entiers de 2 à $n$,
Enlever (ou barrer) les multiples de 2 sauf 2,
Récupérer le plus petit nombre nom barré, c'est à dire 3, et barrer les multiples de 3 sauf 3,
etc...
Test d'arrêt : On s'arrête dès q'on a atteint la racine carrée de $n$.

Voici une jolie animation du crible trouvée sur internet.

New Animation Sieve of Eratosthenes

Image présentant la méthode du crible d'Eratosthène, Source.

2. La démonstration.

Pour la démonstration de ce crible, il faut tout d'abord rappeler le théorème fondamental de l'arithmétique.

Théorème fondamental de l'arithmétique.
Tout nombre entier naturel $n > 1$ peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette représentation est unique, à l'ordre des facteurs premiers près.
Soit en d'autres termes :

$$n = q_1^{a_1} × q_2^{a_2} × q_3^{a_3} × ..... × q_r^{a_r} $$

avec les $q_i$ premiers distincts et les $a_i$ entiers positifs.

Supposons donc que l'entier $n$ est composé et que tous les nombres premiers $p$ qui divisent $n$ satisfont à la condition :

$$(C1) ~~:~~ \sqrt{n} < p ≤ n $$

Alors si un certain nombre premier $p$ divise $n$ et satisfait à la condition (C1), on peut écrire $n =p\times b$ pour un certain entier $b >1$.
Mais alors, $b$ divise aussi $n$ et

$$b = \dfrac{n}{p} < \dfrac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$$
On a ainsi trouvé $b$, un diviseur de $n$ qui possède au moins un facteur premier inférieur à $\sqrt{n}$, ce qui est une contradiction.

Donc : un nombre naturel $n$ qui n'est divisible par aucun nombre premier $ p ≤ \sqrt{n}$ est automatiquement lui-même premier.

C'est avec cette règle qu'Eratosthène a construit son crible.

Dans le crible d'Eratosthène, ausitôt que l'on arrive à l'étape où le plus petit nombre qui n'a pas été rayé est supérieur à √n, on arrête le processus et on est ainsi assuré que tous les nombres non rayés dans la liste sont des nombres premiers.

3. Le crible : Exemple.

Par exemple, 223 n'est divisible,

ni par 2,
ni par 3,
ni par 5,
ni par 7,
ni par 11,
ni par 13.

Il est inutile de vérifier s'il est divisible par 17 car 17² = 289 > 223.

On en déduit que le nombre 223 est premier.

4. Le crible : programmation.

Le site scriptol en propose de nombreux, par exemple.

1. L'algorithme:

Construire une liste de tous les entiers supérieurs à 1 et inférieurs ou égal à n.
Supprimer les multiples de tous les premiers inférieurs ou égal à la racine carrée de n,
ensuite, les nombres qui restent sont premiers.

2. En code Scriptol :

int n = 50
array a
int i, j
a[1] = 0
for i in 2 .. n let a[i] = 1
int p = 2
while (p * p) <= n
- j = p * p
- while j <= n
  - a[j] = 0
- let j + p
- do
  - p + 1
- until a[p] = 1
- /while
Afficher les premiers:
for int x in 0 .. n
if a[x] echo " ", x
/for print

⇒ Pour en savoir plus sur le personnage, visitez la page : Eratosthène.

Détails: Mis à jour : 11 Août 2019

Plan d'Argand-Cauchy.

Le plan d'Argand-Cauchy est la représentation géométrique des nombres complexes par un plan muni d'un repère orthonormé.
Le nombre complexe z = a + ib étant identifié au point M de coordonnées (a ; b) dans un repère orthonormal du plan par une relation biunivoque.

Histoire.

Le mathématicien suisse Jean-Robert Argand (1768-1822) introduit en 1806 la configuration plane des nombres complexes.
Cette dernière est faite avant lui par Wessel (1745-1818) dans l'article "Sur la représentation analytique d'une direction" qui associe à tout nombre complexe un vecteur d'origine 0 et interprète sur ces vecteurs les opérations élémentaires sur les complexes. Cette publication passe cependant inaperçue à l'époque et les travaux de Wessel ne seront retrouvés qu'en 1897.

plan argand-cauchy
Il failli en être de même du traité d'Argand " Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires" publié à Paris en 1806. Il y expose sa façon de représenter le complexe i comme une opération de rotation d'un angle droit autour de l'origine et il interprète géométriquement les opérations sur les nombres complexes.
Cet essai tombe aussi dans l'oubli jusqu'à ce qu'un certain Joseph François FRANÇAIS (7 avril 1768 à Saverne (Bas-Rhin), mort le 30 octobre 1810 à Mayence), professeur à l'école impériale de l'Artillerie et du Génie, qui développe la même notion et y ajoute une notation exploitable.
Il reconnait que l'idée n'est pas de lui et en recherche son auteur. Il s'ensuit alors une correspondance entre les deux hommes,
Ces conceptions furent donc diffusées à la suite d'une polémique à ce sujet en 1813-1814 dans "Les annales de Gergonne" (première revue mathématique [1]).

Par la suite Gauss (1777-1855) et Cauchy (1789-1857) compléteront les recherches effectuées et adopteront cette représentation.

Bibliographie.

Références : [HaSu] p 15 et [Dieudo] p 132
[1] Remarque : Les annales de Gergonne sont disponibles sur le site NUMDAM.

Détails: Mis à jour : 31 Août 2013

Les Triplets Pythagoriciens.

Définition.

Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels non nuls $\left(x~;~ y~;~z\right)$ vérifiant la relation de Pythagore :

$$x^{2} + y^{2}= z^{2}$$

Un triplet pythagoricien est primitif si les trois entiers naturels x, y et z sont premiers entre eux. En fait, il suffit d'avoir deux des entiers x, y et z premiers entre eux (puisqu'un diviseur premier commun de deux des nombres divisera le troisième).

Propriété.
Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes et z est impair.

Théorème fondamental.

Il y a équivalence entre

(A) : (x ; y ; z) est un triplet pythagoricien primitif avec x impair.
(B) : Il existe p et q entiers non nuls avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes tels que :

1. x = p² - q²
2. y = 2pq
3. z = p² + q²

=> Démonstration et compléments.

Les triplets primitifs pythagoriciens.

Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Histoire.

La tablette Plimpton 322.
La tablette nommée Plimpton 322 (parce qu'elle porte le n°322 dans la collection G. A. Plimpton de l'Université Columbia) est sans doute le plus célèbre spécimen des nombreuses tablettes babyloniennes mises à jour (plus de 500 000) et qui traitent des mathématiques babyloniennes.
Cette tablette, qui date du 17^ème siècle av. J.-C., comporte un tableau de nombres cunéiformes rangés sur 15 lignes par quatre colonnes.
Ce tableau semble, selon certains spécialistes, être une liste de triplets pythagoriciens.

Compléments

Pour en savoir plus sur Pythagore : Pythagore de Samos, une légende.
Le théorème de Pythagore : Une approche historique.
Les triplets pythagoriciens.

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Détails: Mis à jour : 22 Mars 2026

Détails: Mis à jour : 8 Décembre 2012

Les 23 problèmes de Hilbert.

Histoire.

Lors du deuxième congrès international de mathématiques tenu à Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec et qui, selon lui, sont les plus importants pour le siècle à venir. Les travaux qui résulteront de l'étude de ses problème s'avèreront en effet extrêmement fécond pour la recherche mathématique.
On dit de lui que c'est le dernier mathématicien à dominer toutes les branches de la discipline.

Au 21ème siècle, un programme équivallent a été défini, il s'agit des problèmes du prix du millénaire.

Les 23 problèmes de HILBERT.

1 - Premier problème de Hilbert : Hypothèse du continu. Résolu (indécidable !)

Prouver l'hypothèse du continu de Cantor. Paul Cohen, en se basant sur les travaux de Gödel, montra en 1963 que cette conjecture était indécidable. Hilbert rattache ce problème à la question suivante : prouver que l'ensemble des nombres réels peut être bien ordonné. Ernst Zermelo prouva que l'existence de ce bon ordre est équivalent à l'axiome du choix de Zermelo. Ainsi, le prouver revient à accepter cet axiome, ce que nombre de mathématiciens refusèrent. Alors que Hilbert pensait que ces deux problèmes étaient liés, Cohen prouva qu'ils étaient indépendants en montrant que l'hypothèse du continu de Cantor était indécidable.

Pour des compléments voir : => Georg CANTOR (1845 - 1918)

2 - Deuxième problème de Hilbert : Démontrer la consistance des axiomes de l'arithmétique. Résolu.

Gödel montra en 1931, via son théorème d'incomplétude, que cela ne pouvait être démontré sans sortir de l'arithmétique. Gerhard Gentzen, cependant, donna, en 1936, une réponse affirmative au moyen d'une récurrence transfinie.

3 - Troisième problème de Hilbert. Résolu.
Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, peut-on découper le premier polyèdre en des polyèdres et les rassembler pour former le second polyèdre ?

Max Dehn, élève de Hilbert, montra que non, en 1902, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques. Malgré tout, le paradoxe de Banach-Tarski constitue un résultat positif pour cette question si l'on n'exige pas que les morceaux intermédiaires soient des polyèdres et surtout si l'on suppose l'axiome du choix.

4 - Quatrième problème de Hilbert. Résolu.
Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.

La géométrie différentielle a permis de répondre en partie à ce problème, bien que l'on ne puisse pas à proprement parler de réponse ferme.

5 - Cinquième problème de Hilbert. Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables. Résolu.

Le théorème de Gleason-Montgomery-Zippin en 1953 y répondit par l'affirmative.

6 - Sixième problème de Hilbert. L'axiomatisation, basée sur le modèle mathématique, de la physique. Résolu.

Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, le problème fut vite obsolète. Malgré tout, on peut noter que la physique théorique et les mathématiques ne cessent de se rapprocher. En axiomatisant la Théorie des probabilités, Kolmogorov a résolu en partie ce problème.

7 - Septième problème de Hilbert. Démontrer la transcendance des nombres a^b, avec a algébrique et b irrationnel. Incomplet

Les travaux de Gelfond, complétés par Schneider et Baker, ont permis de résoudre en partie ce problème.

8 - Huitième problème de Hilbert. Démontrer l'hypothèse de Riemann. OUVERT !
Tous les zéros imaginaires de la fonction ζ (zêta) ont une partie imaginaire égale à 1/2.

Malgré les progrès faits notamment par Deligne qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, on est encore loin d'avoir résolu ce problème, qui s'annonce comme celui du XXIe siècle.

9 - Neuvième problème de Hilbert. Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques. Résolu.

Une réponse à ce problème est apportée par la loi de réciprocité d'Artin, démontrée par celui-ci en 1927.Ce théorème enrichit la connaissance de la théorie des corps de classes, dont le développement fut facilité par l'introduction des idèles par Chevalley en 1936.

10 - Dixième problème de Hilbert. Résolu : C'est impossible !
Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.

Il fallut attendre les travaux de Church et Turing en 1930 pour définir rigoureusement la notion d'algorithme. En 1970, Yuri Matijasevic, établissant une équivalence entre les ensembles récursivement énumérables et les ensembles diophantiens, a établi qu'un tel algorithme ne pouvait pas exister.

11 - Onzième problème de Hilbert. Résolu.
Classifier les formes quadratiques à coefficients dans les anneaux d'entiers algébriques.

Le théorème de Hasse-Minkowski résout le problème sur Q, et Siegel le résolut sur d'autres anneaux intègres.

12 - Douzième problème de Hilbert. Résolu : Pas de solution !
Prolonger le théorème de Kronecker sur les corps non-abéliens.

Le théorème de Youri Matiiassevitch, démontré en 1970 par Youri Matiiassevitch, implique que le dixième problème de Hilbert n'a pas de solution.

13 -Treizième problème de Hilbert. Résolu.
Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.

Plus généralement, il s'agit d'étudier les fonctions continues (et, en fait, les fonctions continues de trois variables) qui ne peuvent pas s'exprimer par composition à partir de fonctions continues de deux variables. En 1954, Kolmogorov et son élève Vladimir Arnold ont montré que cette classe était vide.
En revanche, la question de la résolubilité de l'équation du septième degré par des fonctions analytiques de deux variables est encore ouverte.

14 -Quatorzième problème de Hilbert. Résolu.
Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.

Cependant, la recherche de conditions suffisantes pour la validité du résultat d'Hilbert a été source d'idées très fécondes en géométrie. Nagata donna en 1959 un contre-exemple qui montra la fausseté de la conjecture.

15 - Quinzième problème de Hilbert. Mettre en place les bases du calcul énumératif de Hermann Schubert. Résolu.

Ce problème a donné naissance aux théories de la multiplicité de Samuel et Grothendieck. Résolu par Van der Waerden en 1930.

16 - Seizième problème de Hilbert. Développer une topologie des courbes et des surfaces algébriques. OUVERT !

Ce problème comporte deux parties.

La première concerne le nombre de branches réelles d'une courbe algébrique, et leur disposition ; de nombreux résultats modernes (Petrovskii, Thom, Arnold) apportent des informations à leur sujet.
La seconde partie du problème pose la question de l'existence d'un nombre maximal de cycles limite pour une équation différentielle linéaire définie par des polynômes homogènes de degré donné ; cette question est encore ouverte.

17 - Dix-septième problème de Hilbert. Résolu.
Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.

Résolu par Artin en 1927. Une démonstration purement logique a été trouvée par Robinson.

18 - Dix-huitième problème de Hilbert. Construire un espace euclidien avec des polyèdres congruents. Résolu.

Le problème comporte trois parties.

Premièrement, montrer qu'il n'existe à isomorphisme près qu'un nombre fini de groupes discrets d'isométries de admettant un domaine fondamental compact ; cette question fut résolue par Ludwig Bieberbach en 1910.
Deuxièmement, la question de l'existence de polyèdres qui ne sont pas des groupes fondamentaux, mais qui peuvent cependant paver l'espace ; de tels polyèdres furent construits par Reinhardt et Heesch dans les années trente.
Troisièmement, ce problème comporte aussi la fameuse conjecture de Kepler sur l'empilement des sphères dans l'espace, résolue en 1998 par Thomas Hall.

19 - Dix-neuvième problème de Hilbert. Résolu.
Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique.

Résolu par Bernstein et Tibor Rado en 1929.

20 - Vingtième problème de Hilbert. Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite.

22 - Vingt-et-unième problème de Hilbert. Résolu.
Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs.

Résolu par Helmut Rörl en 1957.

23 - Vingt-deuxième problème de Hilbert. Résolu.
Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes.

Résolu par Koebe et Henri Poincaré en 1907.

24 - Vingt-troisième problème de Hilbert. Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.

Détails: Mis à jour : 1 Octobre 2020

Histoire de l'analyse combinatoire : Arrangements et Combinaisons

La combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.

Arrangements

Définition ([EscoJ] p 177)
Soit A un ensemble non vide. On appelle arrangement de p éléments de A toute p-liste (a₁;...;a_p) d'éléments deux à deux distincts.
Propriété
On note $A_n^p$ le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble de n éléments
et l'on a pour 0 ≤ p ≤ n,

$$A_n^p=n\times (n-1) \times \cdots \times (n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$$

Combinaisons

Définition ([EscoJ] p 179).
Soit E un ensemble de cardinal n. On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E de cardinal p.
Propriété
On note $C_n^p$ ou $\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix}$ le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble de n éléments
et l'on a pour 0 ≤ p ≤ n :
Propriétés
Pour tout n et p tels que 1 ≤ p ≤ n,

cnp

cn0

cnn-p

pcnp

cnp+

Histoire. [Bourb] ^{_{p 65}}

Les problèmes généraux d"Analyse combinatoire" ne sont abordés que lors des derniers siècles de l'Antique classique.

La formule $\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} = \dfrac{n(n-1)}{2}$ apparait au 3^e siècle de notre ère.
Le mathématicien hindou BHASKARA (1114 - 1185) connaît lui la formule générale pour C_n^p.
Une étude plus approfondie est effectuée par GERSONIDE (1288 - 1344). C'est lui qui obtient la formule de récurrence permettant de calculer le nombre d'arrangements Anp et le nombre de permutations de n éléments.

Il propose des règles équivalentes aux relations :

$$ C_n^p = \dfrac{A_n^p}{p!} ~~~~\text{et}~~~~\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{n}\\{n-p}\end{pmatrix}$$

Cependant ce manuscrit est ignoré de ses contemporains et ses résultats ne sont retrouvés que peu à peu aux siècles suivants.

Le mathématicien italien CARDAN Girolamo (1501-1576) démontre que le nombre de parties non vides d'un ensemble de n éléments est 2ⁿ - 1.
Par la suite, les français PASCAL Blaise (1623-1662) et FERMAT Pierre de (1601-1665) fondent le calcul des probabilités et retrouvent parallèlement l'expression :

cnp

La formule du binôme.
La relation entre ces nombres et la formule du binôme est observée pour la première fois par PASCAL Blaise (1623-1662) mais il semble avéré que celle-ci soit déjà connue des arabes au 13^ème siècle et des chinois au 14^ème siècle.
Elle est par ailleurs retrouvée en Occident au début du 16ème siècle avec la méthode de calcul par récurrence dite du "triangle de Pascal" ou "triangle arithmétique"..

Notations

=> voir histoire des symboles

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Détails: Mis à jour : 14 Février 2016

nombres premiers spheres Le théorème des nombres premiers prouve que le rapport x/ln(x) équivaut à π(x) quand x tend vers +∞.

Détails: Mis à jour : 14 Février 2016

Théorème de raréfaction de Legendre (1752-1833)

Théorème

L'ensemble des nombres premiers admet une densité limite nule.
Ce qui en d'autres termes signifie que, en notant π(m), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à m, le rapport π(m)/m tend vers 0 quand m tend vers l'infini.

$$\lim_{m\longrightarrow +\infty}\dfrac{\pi(m)}{m} =0$$

Histoire

Ce théorème est démontré par le mathématicien français Adrien-Marie Legendre (1752-1833) en 1808.

En 1797 ou 1798, il conjecture que π(m) est approchée par la fonction définie par A / (A log (m) + B), où A et B sont des constantes non précisées.
Dans la deuxième édition de son livre sur la théorie des nombres (1808), il affine sa conjecture en précisant que : A = 1 et B = -1,08366.
Sa conjecture de l'équivalence entre π(x) et x/ ln(x) reste empirique et il faut attendre J. Hadamard et C.J. de La Vallée-Poussin en 1896 pour en obtenir la première démonstration de ce que l'on nomme le théorème des nombres premiers.
Le théorème de raréfaction de Legendre en est alors une conséquence.

Références: [Delah1]p199 et [KoMe] p 95

[Delah1] : Jean-Paul DELAHAYE, Merveilleux nombres premiers, Belin - Pour la science, Paris, 2000.
[KoMe] : J-M. De Koninck et A. Mercier, Introduction à la théorie des nombres, Modulo Editeur, Mont-Royal (Québec), 1994.

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Détails: Mis à jour : 22 Novembre 2016

Théorème de raréfaction d'Euler (1707-1783)

Théorème

La somme des inverses des nombres premiers tend vers l'infini, (on dit qu'elle diverge).

$$\sum_{p\,\in\, P} \left( \dfrac{1}{p}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}+\cdots ~~\text{diverge}$$

Historique

Le mathématicien suisse Euler (1707-1783) démontre ce théorème en 1737.
Le théorème de Legendre (1752-1833) prouve la raréfaction des nombres premiers mais ici Euler indique que cette raréfaction n'est pas très rapide. ([Delah1]p204)

La démonstration de ce théorème d'Euler induit un encadrement de la somme des inverses des nombres premiers inférieurs à n entre ln( ln(n) ) et ln( ln(n) ) + 1.

On montre d’ailleurs que :

$$\sum_{p\in P ~;~p\leq n} \dfrac{1}{p}\geq \ln \ln (n+1)- \ln \dfrac{\pi^2}{6}$$

Sum of reciprocals of primes L'axe des abscisses est en échelle logarithmique

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Détails: Mis à jour : 14 Février 2016

Théorème de Brun (1885 - 1978)

Théorème

Soit P l'ensemble des nombres premiers jumeaux, c'est à dire des nombres entiers p tels que p et (p+2) soient premiers.
Alors la série des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente (vers la constante dite de Brun). ([HaSu]^p56)

$$\sum_{p\,\in\, P} \left( \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p+2}\right)=\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)+\left( \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}\right)+\left( \dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}\right)+ \cdots$$

Ce théorème est à rapprocher avec le théorème dit de raréfaction d'Euler (1707-1783) qui nous dit que la somme des inverse des nombres premiers tend vers l'infini.

Remarque : On ne sait toujours pas démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux.

Histoire

C'est au mathématicien norvégien Viggo Brun (1885-1978) que l'on doit une preuve de ce théorème. De fait, la série ci-dessus converge vers la constante dite de Brun, généralement notée B₂ (sequence A065421 in OEIS).

Viggo Brun (1885-1978)

En 1915, il a introduit une nouvelle méthode, basée sur la version de Legendre du crible d'Eratosthène, maintenant connu sous nom de crible de Brun qu'il utilise pour prouver ce théorème.
Attention, en revanche, la somme des inverses de tous les nombres premiers est divergente.

La constante de Brun

$$B_2=\sum_{p\,\in\, P} \left( \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p+2}\right)=\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)+\left( \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}\right)+\left( \dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}\right)+ \cdots$$

Une première estimation de la constante de Brun a été effectuée par Shanks et Wrench en 1974 à l'aide des premiers jumeaux jusqu'à 2 millions. R.P. Brent calcula en 1976 tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10¹¹ et améliora le résultat.

Une meilleure estimation de la constante de Brun a été réalisée par Thomas Nicely en 1994 en calculant les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10¹⁴ . Il a par la suite amélioré cette approximation en utilisant les jumeaux jusqu'à 1,6×10¹⁵ . En septembre 2006, il donnait l'estimation suivante:

$$B_2 = 1,902~160~582~538 ± 0,00000 00014 00$$

La meilleure estimation de l'écriture décimale de la constante de Brun a été réalisée en 2002 par Pascal Sebah et Patrick Demichel en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10¹⁶ :

$$B_2 \approx 1,902~160~583~104$$

{module [104]}

Le crible d'Ératosthène (IIIe av. JC).

1. Le crible.

2. La démonstration.

3. Le crible : Exemple.

4. Le crible : programmation.

Plan d'Argand-Cauchy.

Histoire.

Bibliographie.

Les Triplets Pythagoriciens.

Définition.

Théorème fondamental.

Les triplets primitifs pythagoriciens.

Histoire.

Compléments

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Histoire.

Les 23 problèmes de HILBERT.

Histoire de l'analyse combinatoire : Arrangements et Combinaisons

Arrangements

Combinaisons

Histoire. [Bourb] p 65

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